Коэффициент связи резонаторов

Коэффициент связи резонаторов — безразмерная величина, характеризующая степень взаимодействия двух резонаторов

Коэффициенты связи используют в теории резонаторных фильтров. Резонаторы фильтров могут быть как электромагнитными, так и акустическими. Вместе с резонансными частотами и внешними добротностями резонаторов коэффициенты связи являются обобщенными параметрами фильтров. Для осуществления настройки частотной характеристики фильтра бывает вполне достаточно ограничиться оптимизацией только этих обобщенных параметров.

Эволюция определения термина

Этот термин в теорию фильтров впервые ввел M. Dishal [1]. В некоторой степени он является аналогом коэффициента связи двух индуктивностей или коэффициентов связи двух колебательных контуров. Значение этого термина многократно уточнялось с развитием теории связанных резонаторов и фильтров. Более поздние определения коэффициента обобщают или уточняют предшествующие определения.

Коэффициент связи, рассматриваемый как положительная константа

Из ранних определений коэффициента связи резонаторов широко известны определения, содержащееся в монографии Г. Маттея и др. [2]. Следует сразу оговориться, что эти определения являются приближенными, так как они сформулированы в предположении, что связь между резонаторами достаточно мала. В этой монографии коэффициент связи $k$ для случая двух одинаковых резонаторов определяется формулой

$k=|f_{o}-f_{e}|/f_{0}$, (1)

где $f_{e}$, $f_{o}$ – частоты четных и нечетных связанных колебаний ненагруженной пары резонаторов, а $f_{0}={\sqrt {f_{o}f_{e}}}$. Видно, что коэффициент связи, выражаемый формулой (1), является положительной константой, характеризующей взаимодействие резонаторов на резонансной частоте $f_{0}$.

В случае, когда паре связанных резонаторов можно сопоставить соответствующую эквивалентную схему с инвертором сопротивления (проводимости), нагруженным с обеих сторон на резонансные двухполюсники, коэффициент связи $k$ определяется формулой

$k=K_{12}/{\sqrt {x_{1}x_{2}}}$ (2)

для резонаторов последовательного типа и формулой

$k=J_{12}/{\sqrt {b_{1}b_{2}}}$ (3)

для резонаторов параллельного типа. Здесь $K_{12}$, $J_{12}$ – параметры инвертора сопротивления и инвертора проводимости, $x_{1}$, $x_{2}$ – параметры крутизны реактивного сопротивления первого и второго резонатора последовательного типа, $b_{1}$, $b_{2}$ – параметры крутизны реактивной проводимости первого и второго резонатора параллельного типа.

Когда резонаторами являются колебательные LC-контуры, коэффициент связи, согласно формулам (2) и (3), принимает значение

$k_{L}=L_{12}/{\sqrt {L_{1}L_{2}}}$ (4)

для резонаторов с индуктивной связью и значение

$k_{C}=C_{12}/{\sqrt {(C_{1}+C_{12})(C_{2}+C_{12})}}$ (5)

для резонаторов с емкостной связью. Здесь $L_{1}$, $C_{1}$ – индуктивность и емкость первого контура, $L_{2}$, $C_{2}$ – индуктивность и емкость второго контура, а $L_{12}$, $C_{12}$ – межконтурная (взаимная) индуктивность и межконтурная емкость. Формулы (4) и (5) давно известны в теории электрических цепей. Они выражают значения коэффициентов индуктивной и емкостной связи колебательных контуров.

Коэффициент связи, рассматриваемый как имеющая знак константа

Уточнение приближенной формулы (1) было сделано в [3]. Точная формула имеет вид

$k=(f_{o}^{2}-f_{e}^{2})/(f_{o}^{2}+f_{e}^{2})$. (6)

При выводе этого выражения использовались формулы (4) и (5). Формула (6) стала общепризнанной. Она в частности приведена в часто цитируемой монографии Дж-Ш. Хонга [4]. Видно, что коэффициент связи резонаторов $k$ имеет отрицательное значение, если $f_{o}<f_{e}$.

Согласно новому определению (6), коэффициент индуктивной связи колебательных контуров $k_{L}$ по-прежнему выражается формулой (4). Он имеет положительное значение при $L_{12}>0$ и отрицательное значение $L_{12}<0$.

Коэффициент же емкостной связи колебательных контуров $k_{C}$ всегда отрицателен. Согласно (6), формула (5) для коэффициента емкостной связи колебательных контуров приобретает иной вид

$k_{C}=-C_{12}/{\sqrt {(C_{1}+C_{12})(C_{2}+C_{12})}}$. (7)

Связь между электромагнитными резонаторами может осуществляться как по магнитному, так и по электрическому полю. Связь по магнитному полю характеризуют коэффициентом индуктивной связи $k_{L}$, а связь по электрическому полю — коэффициентом емкостной связи $k_{C}$. Сложение коэффициентов индуктивной и емкостной связи резонаторов выполняется по формуле [3]

$k=(k_{L}+k_{C})/(1+k_{L}k_{C})$. (8)

Эта формула получается из определения (6) с учетом формул (4) и (7).

Следует заметить, что сам по себе знак коэффициента связи $k$ значения не имеет. Свойства резонаторного фильтра не изменятся, если одновременно поменять в нем знаки всех коэффициентов связи. Однако он важен при сопоставлении двух коэффициентов связи и в частности при сложении коэффициентов индуктивной и емкостной связи.

<>

Литература

[1] M. Dishal. Design of dissipative band-pass filters producing desired exact amplitude-frequency characteristics // Proc. IRE, Vol. 37, No. 9, P. 1050–1069, Sept. 1949.

[2] Г.Л. Маттей, Л.Янг, Е.М.Т.Джонс. Фильтры СВЧ, согласующие цепи и цепи связи. Т. 1. / М.: Связь, 1971. 439 с.

[3] В.В. Тюрнев, Б.А. Беляев. Взаимодействие параллельных микрополосковых резонаторов // Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ. Вып. 4(428), С. 25–30, 1990.

[4] J-S. Hong. Microstrip filters for RF/microwave applications / Hoboken: John Wiley & Sons, Inc., 2011, 635 p.

Ссылки

Категория: Теория резонаторных фильтров

en: