Фундаментальная группа: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Addbot (обсуждение | вклад)
м Bot: Migrating 16 interwiki links, now provided by Wikidata on d:q662830 (translate me)
Строка 66: Строка 66:


* Фундаментальная группа является первой из [[Гомотопические группы|гомотопических групп]].
* Фундаментальная группа является первой из [[Гомотопические группы|гомотопических групп]].
* [[Фундаментальный группоид|Фундаментальным группоидом]] пространства <math>X</math> называют [[группоид (теория категорий)|группоид]] <math>\Pi(X)</math>, объектами которого являются точки <math>X</math>, а морфизмами — гомотопические классы путей с композицией путей. При этом <math>\pi_1(X, x_0) \cong \operatorname{Aut}_{\Pi(X)}x_0</math>, и если <math>X</math> линейно связно, то вложение <math>\pi_1(X, x_0) \hookrightarrow \Pi(X)</math> является {{не переведено|:en:equivalence of categories|эквивалентность категорий|эквивалентностью категорий}}.
* [[Фундаментальный группоид|Фундаментальным группоидом]] пространства <math>X</math> называют [[группоид (теория категорий)|группоид]] <math>\Pi(X)</math>, объектами которого являются точки <math>X</math>, а морфизмами — гомотопические классы путей с композицией путей. При этом <math>\pi_1(X, x_0) \cong \operatorname{Aut}_{\Pi(X)}x_0</math>, и если <math>X</math> линейно связно, то вложение <math>\pi_1(X, x_0) \hookrightarrow \Pi(X)</math> является [[Эквивалентность категорий|эквивалентностью категорий]].


== Примечания ==
== Примечания ==

Версия от 09:36, 18 июля 2013

Фундамента́льная гру́ппа — определённая группа, которая сопоставляется топологическому пространству. Грубо говоря, эта группа измеряет количество «дырок» в пространстве. Наличие «дырки» определяется невозможностью непрерывно продеформировать некоторую замкнутую кривую в точку.

Определение

Пусть  — топологическое пространство с отмеченной точкой . Рассмотрим множество петель в из ; то есть множество непрерывных отображений , таких что . Две петли и считаются эквивалентными, если они гомотопны друг другу в классе петель, то есть найдется соединяющая их гомотопия , удовлетворяющая свойству . Соответствующие классы эквивалентности называются гомотопическими классами. Произведением двух петель называется петля, определяемая их последовательным прохождением:

Произведением двух гомотопических классов и называется гомотопический класс произведения петель. Можно показать, что он не зависит от выбора петель в классах. Множество гомотопических классов петель с таким произведением становится группой. Эта группа и называется фундаментальной группой пространства с отмеченной точкой и обозначается .

Комментарии

  • Единицей группы является класс тождественной, или неподвижной петли, обратным элементом — класс петли, пройденной в обратном направлении.
  • Вообще говоря произведение петель не ассоциативно. Тем не менее индуцированное произведение на классах эквивалентности ассоциативно.
  • Если  — линейно связное пространство, то с точностью до изоморфизма фундаментальная группа не зависит от отмеченной точки. Поэтому для таких пространств можно писать вместо не боясь вызвать путаницу. Однако для двух точек канонический изоморфизм между и существует лишь если фундаментальная группа абелева.

Связанные определения

  • Каждое непрерывное отображение пунктированных пространств индуцирует отображение , определяемое формулой . зависит только от гомотопического класса , и выполняются равенства и . Таким образом, взятие фундаментальной группы вместе с описанной операцией образует функтор .
  • Пространство называется односвязным, если оно линейно связно и группа тривиальна (состоит только из единицы).

Примеры

  • В , есть только один гомотопический класс петель. Следовательно, фундаментальная группа тривиальна, . То же самое верно и для любого пространства-выпуклого подмножества
  • В одномерной сфере (окружности), каждый гомотопический класс состоит из петель, которые навиваются на окружность заданное число раз, которое может быть положительным или отрицательным в зависимости от направления. Следовательно, фундаментальная группа одномерной сферы изоморфна аддитивной группе целых чисел .
  • Фундаментальная группа -мерной сферы тривиальна при всех .
  • Фундаментальная группа ориентированной замкнутой поверхности рода может быть задана образующими с единственным соотношением: .

Свойства

  • Фундаментальная группа пространства зависит только от его гомотопического типа.
    • Обратное верно для линейно связных шаблон не поддерживает такой синтаксис, см. также шаблон не поддерживает такой синтаксис.
  • Если  — ретракт , содержащий отмеченную точку , то гомоморфизм , индуцированный вложением , инъективен.
    • В частности, фундаментальная группа компоненты линейной связности , содержащей отмеченную точку, изоморфна фундаментальной группе всего .
    • Если  — строгий деформационный ретракт , то является изоморфизмом.
  • сохраняет произведение: для любой пары топологических пространств с отмеченными точками и существует изоморфизм
естественный по и .
  • шаблон не поддерживает такой синтаксис: Если  — объединение линейно связных открытых множеств , каждое из которых содержит отмеченную точку , и если каждое пересечение линейно связно, то гомоморфизм , индуцированный вложениями , сюрьективен. Кроме того, если каждое пересечение линейно связно, то ядро гомоморфизма  — это наименьшая нормальная подгруппа , содержащая все элементы вида (где индуцирован вложением ), а потому индуцирует изоморфизм (первая теорема об изоморфизме).[1] В частности,
    • сохраняет копроизведения: естественно по всем .
    • (случай двух ): условие для тройных пересечений становится излишним, и получается, что , что является ограниченной (случаем линейно связного ) формой сохранения толчков.
  • Свободные группы и только они могут быть реализованы как фундаментальные группы графов (действительно, стягивание остовного дерева в точку реализует гомотопическую эквивалентность графа и букета окружностей, также можно применить теорему ван Кампена).
  • Произвольная группа может быть реализована как фундаментальная группа двумерного клеточного комплекса.
  • Произвольная конечно заданная группа может быть реализована как фундаментальная группа замкнутого 4-мерного многообразия.
  • Фундаментальная группа пространства действует сдвигами на универсальном накрытии этого пространства.

Вариации и обобщения

  • Фундаментальная группа является первой из гомотопических групп.
  • Фундаментальным группоидом пространства называют группоид , объектами которого являются точки , а морфизмами — гомотопические классы путей с композицией путей. При этом , и если линейно связно, то вложение является эквивалентностью категорий.

Примечания

  1. А. Хатчер, Алгебраическая топология, М.: МЦНМО, 2011.

Литература

  • Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
  • Матвеев С. В. Фундаментальная группа: Лекции по курсу «Топология». — Челябинск: ЧелГУ, 2001. — 16 с. (есть pdf)