Теорема о сумме углов многоугольника

Свойство многоугольников в евклидовой геометрии:

Сумма углов n-угольника равна 180°(n-2). Шаблон:/рамка Доказательство Доказательство проводится для случая выпуклого n-угольника В случае n=3 смотреть Теорема о сумме углов треугольника. Пусть $A_{1}A_{2}...A_{n}$ — данный выпуклый многоугольник и n > 3. Тогда проведем из одной вершины к противоположным вершинам n-3 диагонали: $A_{1}A_{3},A_{1}A_{4},A_{1}A_{5}...A_{1}A_{n-1}$. Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на n — 2 треугольника: $\Delta A_{1}A_{2}A_{3},\Delta A_{1}A_{3}A_{4},...,\Delta A_{1}A_{n-1}A_{n}$. Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов в каждом треугольнике равна 180°, а число этих треугольников есть n-2. Следовательно, сумма углов n-угольника равна 180°(n-2). Теорема доказана. Замечание Для невыпуклого n-угольника сумма углов также равна 180°(n-2). Доказательство аналогично, но использует в дополнение лемму о том, что любой многоугольник может быть разрезан диагоналями на треугольники. Примечания Теорема о сумме углов многоугольника для многоугольников на сфере не выполняется (а также на любой другой искажённой плоскости, кроме некоторых случаев). Подробнее смотрите неевклидовы геометрии. См. также Теорема о сумме углов треугольника