Функция тока

Функция тока — скалярная функция в гидродинамике, которая задаёт двумерное течение жидкости.

Определение

Обычно функция тока определяется из соотношения:

$\operatorname {rot} \,(\psi {\vec {z}})={\vec {v}}$, где $\operatorname {rot}$ — ротор.

Для прямоугольной декартовой системы координат это даёт:

$v_{x}={\frac {\partial \psi }{\partial y}};v_{y}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}$.

Обобщения

Так как для несжимаемой жидкости поле скорости соленоидально, то у него существует векторный потенциал:

$\operatorname {rot} \,{\vec {\Psi }}={\vec {v}}$,

который можно считать векторной функцией тока.

Неоднозначность

Как любой потенциал, функция тока определена с точностью до аддитивной постоянной. Когда в задаче есть твёрдые стенки (на которых скорость равна нулю), обычно принимают значение функции тока на них равной нулю. Если же стенок нет (заполнено всё пространство), то можно задать значение на бесконечности, если поле скорости там постоянно.

Свойства

• Изолинии функции тока совпадают с линиями тока жидкости. Для стационарного (не зависящего от времени) течения они также являются траекториями частиц.
• При некоторых условиях максимум функции тока равен расходу жидкости.