Формула Гаусса

Формула Гаусса (соотношение Гаусса, уравнение Гаусса) — выражение для гауссовой кривизны поверхности в трёхмерном римановом пространстве через главные кривизны и секционную кривизну объемлющего пространства:

Пусть $S$ есть двумерная поверхность в трёхмерном римановом пространстве $M$, тогда $K_{S}(x)=K_{M}(\sigma _{S}(x))+\kappa _{1}(x)\kappa _{2}(x),$ где $K_{S}$ есть гауссова кривизна поверхности $S$ в точке $x\in S$, $K_{M}(\sigma _{S}(x))$ — секционная кривизна пространства $M$ в направлении $\sigma _{S}(x)$ касательном к $S$ в точке $x$, а $\kappa _{1}(x)$, $\kappa _{2}(x)$ — главные кривизны поверхности $S$ в точке $x$.

Эта формула обобщает более известную формулу $K_{S}(x)=\kappa _{1}(x)\kappa _{2}(x)$ для плоского пространства $M$.

Обобщение на большие размерности

Формула допускает обобщения на произвольную размерность и коразмерность вложенного подмногообразия $S\subset M$. В этом случае тензор кривизны $R_{S}$ подмногообразия $S$ выражается через сужение тензора кривизны $R_{M}$ пространства $M$ на подпространство касательное к $S$ и вторую квадратичную форму $q_{S}$ подмногообразия $S$ на пространстве $TS$ со значениями в нормальном пространстве к $S$.

$\langle R_{S}(X,Y)Z,W\rangle =\langle R_{M}(X,Y)Z,W\rangle +\langle q_{S}(Y,W),q_{S}(X,Z)\rangle -\langle q_{S}(X,W),q_{S}(Y,Z)\rangle$.

Следует иметь ввиду, что разные авторы используют разные определения тензора кривизны (с точностью до знака и порядка аргументов) и второй квадратичной формы (с точностью до знака). Приведенная форма формулы имеется в [1].

Литература

• 1. Постников М. М. Риманова геометрия М.: Факториал, 1998, стр. 337.
• 2. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии М.: Наука, 1981, Т. 2, стр. 30.

См. также

• Формула Гаусса — Бонне
• Теорема Гаусса — Остроградского (также называемая формулой Гаусса)