Число Лефшеца

Число Лефшеца — определённая целочисленная характеристика отображения топологического пространства в себя.

Определение

Пусть $X$ — топологическое пространство, $f:X\to X$ — непрерывное отображение, $H_{*}(X,k)$ — группы гомологий $X$ с коэффициентами в поле $k$. Пусть $t_{n}$ — след линейного преобразования

$f_{*}:H_{n}(X,k)\to H_{n}(X,k)$

По определению, число Лефшеца отображения $f$ есть

$\Lambda (f,X)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{n}t_{n}$

Свойства

• Число Лефшеца определено если общий ранг групп $H_{*}(X,k)$ конечен, и в этом случае не зависит от выбора $k$.

• Число Лефшеца тождественного отображения равно эйлеровой характеристике $X$.

Формула Лефшеца

Пусть $X$ — связное ориентируемое $n$-мерное компактное топологическое многообразие или $n$-мерный конечный клеточный комплекс, $f:X\to X$ — непрерывное отображение.

Предположим, что все неподвижные точки отображения $f:X\to X$ изолированы.

Для каждой неподвижной точки $x\in X$, обозначим через $i(x)$ её индекс Кронекера (локальная степень отображения $f$ в окрестности точки $x$). Тогда формула Лефшеца для $X$ и $f$ имеет вид

$\sum _{\{x|f(x)=x\}}i(x)=\Lambda (f,X).$

• В частности, если отображение конечного клеточного комплекса не имеет неподвижных точек, то его число Лефшеца равно нулю.

История

Эта формула была установлена впервые Лефшецем для конечномерных ориентируемых топологических многообразий и позже для конечных клеточных комплексов. Этим работам Лефшеца предшествовала работа Брауэра 1911 о неподвижной точке непрерывного отображения $n$-мерной сферы в себя.