Гамма-функция

Гамма-функция — математическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается $\Gamma (z)$.

Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

Определения

График гамма-функции действительного переменного

Интегральное определение

Если вещественная часть комплексного числа $z$ положительна, то Гамма-функция определяется через интеграл

$~\Gamma (z)=\int \limits _{0}^{+\infty }\!t^{\,{\mathrm {z} }-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} \colon \mathrm {Re} (z)>0$

На всю комплексную плоскость функция аналитически продолжается через тождество

$~\Gamma (z+1)=z\Gamma (z).$

Существует непосредственное аналитическое продолжение исходной формулы на всю комплексную плоскость, называемое интегралом Римана-Ханкеля

$~\Gamma (z)={\frac {1}{e^{i2\pi {\mathrm {z} }}-1}}\int \limits _{L}\!t^{\,{\mathrm {z} }-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.$

где контур $L$ — любой контур на комплексной плоскости, обходящий точку $t=0$ против часовой стрелки, и концы которого уходят на бесконечность вдоль положительной вещественной оси.

Последующие выражения служат альтернативными определениями Гамма-функции.

Определение по Гауссу

Оно верно для всех комплексных $z$, за исключением 0 и отрицательных целых чисел

$\Gamma (z)=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {n!\,n^{z}}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+n)}},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.$

Определение по Эйлеру

$\Gamma (z)={\frac {1}{z}}\left(\prod \limits _{n=1}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{z}{\left(1+{\frac {z}{n}}\right)}^{-1}\right)={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{\mathrm {z} }}{1+{\frac {\mathrm {z} }{n}}}},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.$

Определение по Вейерштрассу

$\Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.$

где $\gamma =\lim \limits _{n\to \infty }\left(\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln {n}\right)\approx 0,57722$ — постоянная Эйлера — Маскерони.

Замечания

• Интеграл выше сходится абсолютно, если вещественная часть комплексного числа $z$ положительна.
• Применяя интегрирование по частям, можно показать, что тождество

  $\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$

выполняется для подынтегрального выражения.

• А поскольку $\Gamma (1)=1$, для всех натуральных чисел $n$

$\Gamma (n+1)=n\cdot \Gamma (n)=\ldots =n!\cdot \Gamma (1)=n!$

• $\Gamma (z)$ является мероморфной на комплексной плоскости и имеющей полюса в точках $z=0,\;-1,\;-2,\;-3,\;\ldots$

Связанные определения

• Иногда используется альтернативная запись, так называемая пи-функция, зависящая от гамма-функции следующим образом:

  $\Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$.

• В интеграле выше, определяющем гамма-функцию, пределы интегрирования фиксированы. Рассматривают также неполную гамма-функцию, определяемую аналогичным интегралом с переменным верхним либо нижним пределом интегрирования. Различают верхнюю неполную гамма-функцию, часто обозначаемую как гамма-функцию от двух аргументов:

$\Gamma (a,z)=\int \limits _{\mathrm {z} }^{\infty }\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}$

и нижнюю неполную гамма-функцию, аналогично обозначаемую строчной буквой «гамма»:

$\gamma (a,z)=\int \limits _{0}^{\mathrm {z} }\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}$.

Свойства

График модуля гамма-функции на комплексной плоскости.

• Формула дополнения Эйлера:

  $\Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin \pi z}$.

• Из неё вытекает формула умножения Гаусса:

  $\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{n}}\right)\ldots \Gamma \left(z+{\frac {n-1}{n}}\right)=n^{{\frac {1}{2}}-nz}\cdot (2\pi )^{\frac {n-1}{2}}\Gamma (nz),$

• которую при n=2 называют формулой удвоения Лежандра:

  $\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).\,\!$

• Наиболее известные значения гамма-функции от нецелого аргумента это

  $\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}.$

  $\Gamma ({\tfrac {1}{4}})={\sqrt {\frac {(2\pi )^{3/2}}{AGM({\sqrt {2}},1)}}}.$

  $\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}.$

  $\Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}\cdot \left[{n-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]$

  $\Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}/\left[{-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]$

• Гамма-функция имеет полюс в $z=-n$ для любого натурального $n$ и нуля; вычет в этой точке задается так

  $\operatorname {\mathrm {Res} } _{z=-n}\,\Gamma (z)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}$.

• Следующее бесконечное произведение для гамма-функции, как показал Вейерштрасс, верно для всех комплексных $z$, не являющихся неположительными целыми:

  $\Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{-1}e^{z/k}$,

где $\gamma$ — это константа Эйлера.

• Основное, но полезное свойство, которое может быть получено из предельного определения:

  ${\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})$.

• Гамма-функция дифференцируема бесконечное число раз, и $\Gamma ^{\prime }(x)=\psi (x)\Gamma (x)$, где $\psi (x)$ часто называют «пси-функцией», или дигамма-функцией.
• Гамма-функция и бета-функция связаны следующим соотношением:

  $\mathrm {B} (x,\;y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}$.

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера
• K-функция
• G-функция Барнса
• Бета-функция
• Гамма-распределение
• Неполная гамма-функция