Алгоритм Дейкстры

Алгори́тм Де́йкстры — алгоритм на графах, изобретенный Э. Дейкстрой. Находит кратчайшее расстояние от одной из вершин графа до всех остальных. Алгоритм работает только для графов без рёбер отрицательного веса.

Формулировка задачи

Неформальное определение

Вариант 1. Дана сеть автомобильных дорог, соединяющих города Львовской области. Найти кратчайшие расстояния от Львова до каждого города области (если двигаться можно только по дорогам).

Вариант 2. Имеется некоторое количество авиарейсов между городами мира, для каждого известна стоимость. Найти минимальную стоимость маршрута (возможно, с пересадками) от Копенгагена до Новосибирска.

Вариант 3. Есть план города с нанесёнными на него местами расположения пожарных частей. Определить ближайшую к каждому дому пожарную станцию.

Формальное опоределение

Дан простой взвешенный граф $G(V,E)$ без петель и дуг отрицательного веса. Найти кратчайшее расстояние от некоторой вершины $a$ графа $G$ до всех остальных вершин этого графа.

Неформальное объяснение

Каждой вершине из V сопоставим метку — минимальное известное расстояние от этой вершины до a. Алгоритм работает пошагово — на каждом шаге он «посещает» одну вершину и пытается уменьшать метки. Работа алгоритма завершается, когда все вершины посещены.

Инициализация. Метка самой вершины a полагается равной 0, метки остальных вершин — бесконечности. Это отражает то, что расстояния от a до других вершин пока неизвестны. Все вершины графа помечаются как непосещенные.

Шаг алгоритма. Если все вершины посещены, алгоритм завершается. В противном случае из еще не посещенных вершин выбирается вершина u, имеющая минимальную метку. Мы рассматриваем всевозможные маршруты, в которых u является предпоследним пунктом. Вершины, соединенные с вершиной u ребрами, назовем соседями этой вершины. Для каждого соседа рассмотрим новую длину пути, равную сумме текущей метки u и длины ребра, соединяющего u с этим соседом. Если полученная длина меньше метки соседа, заменим метку этой длиной. Рассмотрев всех соседей, пометим вершину u как посещенную и повторим шаг.

Пример

Рассмотрим выполнение алгоритма на примере графа, показанного на рисунке. Пусть требуется найти расстояния от 1-й вершины до всех остальных.

Кружками обозначены вершины, линиями — пути между ними (ребра графа). В кружках обозначены номера вершин, над ребрами обозначена их «цена» — длина пути. Рядом с каждой вершиной красным обозначена метка — длина кратчайшего пути в эту вершину из вершины 1.

Первый шаг. Рассмотрим шаг алгоритма Дейкстры для нашего примера. Минимальную метку имеет вершина 1. Ее соседями являются вершины 2, 3 и 6.

Первый по очереди сосед вершины 1 — вершина 2, потому что длина пути до нее минимальна. Длина пути в нее через вершину 1 равна кратчайшему расстоянию до вершины 1 + длина ребра, идущего из 1 в 2, то есть 0 + 7 = 7. Это меньше текущей метки вершины 2, поэтому новая метка 2-й вершины равна 7.

Аналогичную операцию проделываем с двумя другими соседями 1-й вершины — 3-й и 6-й.

Все соседи вершины 1 проверены. Текущее минимальное расстояние до вершины 1 считается окончательным и обсуждению не подлежит (то, что это действительно так, впервые доказал Дейкстра). Вычеркнем её из графа, чтобы отметить, что эта вершина посещена.

Второй шаг'. Шаг алгоритма повторяется. Снова находим «ближайшую» из непосещенных вершин. Это вершина 2 с меткой 7.

Снова пытаемся уменьшить метки соседей выбранной вершины, пытаясь пройти в них через 2-ю. Соседями вершины 2 являются 1, 3, 4.

Первый (по порядку) сосед вершины 2 — вершина 1. Но она уже посещена, поэтому с 1-й вершиной ничего не делаем.

Следующий сосед вершины 2 — вершина 4. Если идти в неё через 2-ю, то длина такого пути будет = кратчайшее расстояние до 2 + расстояние между вершинами 2 и 4 = 7 + 15 = 22. Поскольку 22<$\infty$, устанавливаем метку вершины 4 равной 22.

Ещё один сосед вершины 2 — вершина 3. Если идти в неё через 2, то длина такого пути будет = 7 + 10 = 17. Но текущая метка третьей вершины равна 9<17, поэтому метка не меняется.

Все соседи вершины 2 просмотрены, замораживаем расстояние до неё и помечаем ее как посещенную.

Третий шаг. Повторяем шаг алгоритма, выбрав вершину 3. После ее «обработки» получим такие результаты:

Дальнейшие шаги. Повторяем шаг алгоритма для оставшихся вершин (Это будут по порядку 6, 4 и 5).

Завершение выполнения алгоритма. Алгоритм заканчивает работу, когда вычеркнуты все вершины. Результат его работы виден на последнем рисунке: кратчайший путь от вершины 1 до 2-й составляет 7, до 3-й — 9, до 4-й — 20, до 5-й — 20, до 6-й — 11.

Пример реализации

Обозначения

• $V$ — множество вершин графа
• $E$ — множество ребер графа
• $w[ij]$ — вес (длина) ребра $ij$
• $a$ — вершина, расстояния от которой ищутся
• $U$ — множество посещенных вершин
• $d[u]$ — по окончанию работы алгоритма равно длине кратчайшего пути из $a$ до вершины $u$
• $p[u]$ — по окончании работы алгоритма содержит кратчайший путь из $a$ в $u$

Алгоритм

Присвоим $d[a]\gets 0,\ p[a]\gets a$

Для всех $u\in V$ отличных от $a$

присвоим $d[u]\gets \infty$

Пока $\exists v\notin U$ c $d[v]<\infty$

Пусть $v\notin U$ — вершина с минимальным $d[v]$

Добавим вершину $v$ к $U$

Для всех $u\notin U$ таких, что $vu\in E$

если $d[u]>d[v]+w[vu]$ то

изменим $d[u]\gets d[v]+w[vu]$

изменим $p[u]\gets p[v],u$

Описание

В простейшей реализации для хранения чисел d[i] можно использовать массив чисел, а для хранения принадлежности элемента множеству U — массив булевских переменных.

В начале алгоритма расстояние для начальной вершины полагается равным нулю, а все остальные расстояния заполняются большим положительным числом (большим максимального возможного пути в графе). Массив флагов заполняется нулями. Затем запускается основной цикл.

На каждом шаге цикла мы ищем вершину с минимальным расстоянием и флагом равным нулю. Затем мы устанавливаем в ней флаг в 1 и проверяем все соседние с ней вершины. Если в ней расстояние больше, чем сумма расстояния до текущей вершины и длины ребра, то уменьшаем его. Цикл завершается когда флаги всех вершин становятся равны 1, либо когда у всех вершин c флагом 0 $d[i]=\infty$. Последний случай возможен, если и только если граф G несвязен.

Сложность алгоритма

Сложность алгоритма Дейкстры зависит от способа нахождения вершины v, а также способа хранения множества непосещенных вершин и способа обновления меток. Обозначим через n количество вершин, а через m — количество ребер в графе G.

• В простейшем случае, когда для поиска вершины с минимальным d[v] просматривается все множество вершин, а для хранения величин d — массив, время работы алгоритма есть $O(n^{2}+m)$. Основной цикл выполняется порядка n раз, в каждом из них на нахождение минимума тратится порядка n операций, плюс количество релаксаций (смен меток), которое не превосходит количества ребер в исходном графе.

• Для разреженных графов (то есть таких,для которых m много меньше n²) непосещенные вершины можно хранить в двоичной куче, а в качестве ключа использовать значения d[i], то время извлечения вершины из ${\overline {U}}$ станет $\log n$, при том, что время модификации $d[i]$ возрастет до $\log n$. Т.к. цикл выполняется порядка n раз, а количество релаксаций не больше m, скорость работы такой реализации $O(n\log n+m\log n)$

• Если для хранения непосещенных вершин использовать фибоначчиевы кучи, у которых время добавления элемента $O(1)$, то время работы алгоритма составит $O(n\log n+m)$

Замечание

Нетрудно показать, что скорость работы алгоритма при использовании фибоначчиевых куч является асимптотически оптимальной и улучшить её нельзя. Так, с одной стороны, задачу сортировки массива из n элементов можно свести к задаче о поиске кратчайших путей на графе из $n$ вершин; с другой стороны, алгоритму требуется просмотреть все ребра графа, хотя бы по одному разу.

См. также

• Алгоритм Дейкстры с потенциалами — обобщение на случай графов с рёбрами отрицательного веса
• Shortest Path First
• OSPF

Ссылки

• E. W. Dijkstra. A note on two problems in connexion with graphs. // Numerische Mathematik. V. 1 (1959), P. 269–271
• algolist.manual.ru
• C. Анисимов. Как постоить кратчайший маршрут между двумя точками.
• Реализация простейшего варианта алгоритма Дейкстры на maximal.hocomua.ru
• Реализация варианта алгоритма Дейкстры для разреженных графов на maximal.hocomua.ru

Литература

• Ананий В. Левитин. Глава 9. Жадные методы: Алгоритм Дейкстры // Алгоритмы: введение в разработку и анализ = Introduction to The Design and Analysis of Aigorithms. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 189-195. — ISBN 0-201-74395-7.