Постоянные Ламе

Не следует путать с коэффициентами Ламе в дифференциальной геометрии.

Пара́метры Ламе́, коэффициенты Ламе, константы Ламе, постоянные Ламе, упругие постоянные Ламе, модули упругости Ламе (названные в честь Габриэля Ламе) — , характеристики упругих деформаций изотропных твёрдых тел, модули упругости.

В линейной теории упругости закон Гука выражает линейную зависимость между тензором деформации ε и тензором напряжений σ в упругой среде:

$\sigma =2\mu \varepsilon +\lambda \;\mathrm {Tr} (\varepsilon )I$

Здесь λ называется первым параметром Ламе, а μ (модуль сдвига, Н/м²) — вторым параметром Ламе.

Определение через энергию

Энергия упругой деформации является квадратичной формой тензора деформации. Из тензора второго ранга можно составить две разные симметричные скалярные комбинации второй степени. Такими скалярами являются $\left(\sum _{i}\varepsilon _{ii}\right)^{2}$ и $\sum _{i,k}\varepsilon _{ik}^{2}$.

Вклад упругих деформаций в свободную энергию, таким образом, является линейной комбинацией этих двух скаляров с коэффициентами, которые называются параметрами Ламе.

$F={\frac {\lambda }{2}}\left(\sum _{i}\varepsilon _{ii}\right)^{2}+\mu \sum _{i,k}\varepsilon _{ik}^{2}$.

Связь с другими модулями упругости

Параметр Ламе μ совпадает с модулем сдвига.

Модуль всестороннего сжатия К выражается через параметры Ламе следующим образом:

$K=\lambda +{\frac {2}{3}}\mu$

Через модуль Юнга E и коэффициент Пуассона ν параметры Ламе выражаются следующим образом:

$\lambda ={\frac {\nu E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$

$\mu ={\frac {E}{2(1+\nu )}}$

Гидродинамика

В уравнении Навье-Стокса — уравнениях движения сжимаемой жидкости:

$\rho \mathbf {v} =-\nabla p+\eta \Delta \mathbf {v} +(\lambda +\eta )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )+\mathbf {f} .$

коэффициенты динамической вязкости λ и η являются соответственно первым и вторым параметрами Ламе.

Литература

• Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. . — Наука., 1987.