Идемпотентность

Идемпотентность — термин, означающий свойство математического объекта, которое проявляется в том, что повторное действие над объектом не изменяет его. Термин предложил американский математик Бенджамин Пирс (англ. Benjamin Peirce) в статьях 1870-х годов, произведя его от латинских слов idem («тот же самый») и potens («способный»).

Примеры употребления термина:

• Унарная операция взятия числа по модулю является идемпотентной: $|x|=|(|x|)|=|(|(|x|)|)|=...$
• Бинарная операция взятия наибольшего значения является идемпотентной: $max(x,y)=max(max(x,y),y)=max(x,max(x,y))$
• Бинарная операция нахождения наибольшего общего делителя является идемпотентной: $gcd(x,y)=gcd(gcd(x,y),y)=gcd(x,gcd(x,y))$
• Единица является идемпотентным элементом относительно операции арифметического умножения: $x*1=(x*1)*1=((x*1)*1)*1=...$

Элемент

Идемпотентный элемент (идемпотент) в алгебре — элемент полугруппы, сохраняющийся при умножении самого на себя: $e^{2}=e$. Теорема об идемпотенте гласит: в конечной полугруппе есть идемпотент.

Идемпотентный элемент $e$ содержит идемпотентный элемент $f$ (обозначается $e\geqslant f$), если $ef=e=fe$. Отношение $\geqslant$ является отношением частичного порядка в множестве $E$ идемпотентных элементов и называется естественным частичным порядком на множестве $E$.

Два идемпотентных элемента ассоциативного кольца (которое будет полугруппой по умножению) $u$ и $v$ называются ортогональными, если $uv=0=vu$.

Операция

В математике

Идемпотентная бинарная операция в математике — операция, относительно которой всякий элемент обладает идемпотентностью в вышеназванном смысле:

$\forall x:\quad x\cdot x=x\!$.

Этим свойством обладают, например, логическое И и логическое ИЛИ.

Идемпотентная унарная операция — операция, для которой выполняется

$\forall x:f(f(x))=f(x)\!$, или $f\circ f=f$.

Из линейных операторов в $\mathbb {R} ^{n}$ идемпотентна только параллельная проекция. Поэтому проектор в алгебре — в том числе в бесконечномерных пространствах — определяется как $P\circ P=P$.

В информатике

Идемпотентная операция в информатике — действие, многократное повторение которого эквивалентно однократному.

Примером такой операции могут служить GET-запросы в протоколе HTTP. По спецификации, сервер должен возвращать одни и те же ответы на идентичные запросы (при условии, что ресурс не изменился между ними по иным причинам). Такая особенность позволяет кэшировать ответы, снижая нагрузку на сеть.

В языке Си идемпотентен #include "xxx.h", если в заголовочном файле есть защита от двойного подключения.