Минимальная поверхность: различия между версиями

[отпатрулированная версия]

Содержимое удалено Содержимое добавлено

Линейный

Версия от 12:11, 18 октября 2014

Минимальная поверхность — поверхность, у которой средняя кривизна $H$ равна нулю во всех точках; представитель класса изотермических поверхностей. Примеры таких поверхностей — геликоид, катеноид.

История

Первые исследования минимальных поверхностей восходят к Лагранжу (1768) который рассмотрел следующую вариационную задачу: найти поверхность наименьшей площади, натянутую на данный контур. Предполагая искомую поверхность задаваемой в виде $z=f(x,y)$ , Лагранж получил, что эта функция должна удовлетворять уравнению Эйлера — Лагранжа.

Позже Монж (1776) обнаружил, что условие минимальности площади приводит к условию $H=0$ , и поэтому за поверхностями с $H=0$ закрепилось название «минимальные». В действительности, однако, нужно различать понятия минимальной поверхности и поверхности наименьшей площади, так как условие $H=0$ представляет собой лишь необходимое условие минимальности площади, вытекающее из равенства нулю 1-й вариации площади поверхности среди всех поверхностей с заданной границей. Для проверки достижения в указанном классе хотя бы относительного (локального) минимума приходится исследовать 2-ю вариацию площади поверхности.

Ссылки

Евгений Степанов Видео-лекции: минимальные поверхности (рус.)

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-'''Минимальная поверхность''' — [[поверхность]], у которой [[средняя кривизна]] <math>H</math> равна нулю во всех точках.
+'''Минимальная поверхность''' — [[поверхность]], у которой [[средняя кривизна]] <math>H</math> равна нулю во всех точках; представитель класса [[Изотермическая поверхность|изотермических поверхностей]]. Примеры таких поверхностей — [[геликоид]], [[катеноид]].
-== Примеры ==
-* [[Геликоид]]
-* [[Катеноид]]
 == История ==
-Первые исследования минимальных поверхностей восходят к [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранжу]], [[1768]], который рассмотрел следующую вариационную задачу: найти поверхность наименьшей площади, натянутую на данный контур. Предполагая искомую поверхность задаваемой в виде <math>z=f(x,y)</math>, Лагранж получил, что эта функция должна удовлетворять [[Уравнения Эйлера — Лагранжа|уравнению Эйлера — Лагранжа]].
+Первые исследования минимальных поверхностей восходят к [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранжу]] ([[1768 год в науке|1768]]) который рассмотрел следующую вариационную задачу: найти поверхность наименьшей площади, натянутую на данный контур. Предполагая искомую поверхность задаваемой в виде <math>z=f(x,y)</math>, Лагранж получил, что эта функция должна удовлетворять [[Уравнения Эйлера — Лагранжа|уравнению Эйлера — Лагранжа]].
-Позже [[Монж, Гаспар|Монж]], [[1776]] обнаружил, что условие минимальности площади приводит к условию <math>H=0</math>, и поэтому за поверхностями с <math>H=0</math> закрепилось название «минимальные». В действительности, однако, нужно различать понятия минимальной поверхности и поверхности наименьшей площади, так как условие <math>H=0</math> представляет собой лишь необходимое условие минимальности площади, вытекающее из равенства нулю 1-й вариации площади поверхности среди всех поверхностей с заданной границей. Для проверки достижения в указанном классе хотя бы относительного (локального) минимума приходится исследовать 2-ю вариацию площади поверхности.
+Позже [[Монж, Гаспар|Монж]] ([[1776 год в науке|1776]]) обнаружил, что условие минимальности площади приводит к условию <math>H=0</math>, и поэтому за поверхностями с <math>H=0</math> закрепилось название «минимальные». В действительности, однако, нужно различать понятия минимальной поверхности и поверхности наименьшей площади, так как условие <math>H=0</math> представляет собой лишь необходимое условие минимальности площади, вытекающее из равенства нулю 1-й вариации площади поверхности среди всех поверхностей с заданной границей. Для проверки достижения в указанном классе хотя бы относительного (локального) минимума приходится исследовать 2-ю вариацию площади поверхности.
-== См. также ==
+== Ссылки ==
+* Евгений Степанов [http://lektorium.tv/course/?id=22789 Видео-лекции: минимальные поверхности] {{ref-ru}}
-* [[Изотермическая поверхность]]
-== Ссылки ==
-* Евгений Степанов [http://lektorium.tv/course/?id=22789 видео лекции: Минимальные поверхности]{{ref-ru}}
 {{math-stub}}

Минимальная поверхность: различия между версиями

Версия от 12:11, 18 октября 2014

История

Ссылки

Навигация

Поиск