Гипотеза Била

Гипотеза Била — гипотеза в теории чисел, обобщение великой теоремы Ферма. Предложена в 1993 году техасским миллиардером и математиком-любителем Эндрю Билом (англ. Andrew Beal), который учредил премию за её доказательство или опровержение в 100 тыс. долларов, а в 2013 году увеличил эту премию до 1 млн долларов.

Формулировка

Если

$A^{x}+B^{y}=C^{z},$

где $A,B,C,x,y,z$ — натуральные, и $x,y,z>2$, то $A,B,C$ имеют общий простой делитель.

Связь с великой теоремой Ферма

При условии справедливости гипотезы великую теорему Ферма можно доказать от противного:

Пусть существуют натуральные числа n > 2 и A, B, C такие, что $A^{n}+B^{n}=C^{n}$, причём C — минимально возможное. Тогда гипотеза Била для x = y = z = n влечёт, что существует простое число p, делящее каждое из чисел A, B и C. Но тогда $(A/p)^{n}+(B/p)^{n}=(C/p)^{n}$, что противоречит минимальности выбора C. Полученное противоречие означает, что требуемых натуральных чисел n, A, B, C не существует, то есть, великая теорема Ферма доказана.

Проверка

По состоянию на 2013 год гипотеза проверена для случаев, когда значения всех шести чисел не превосходят 1000.

24 марта 2014 года запущен проект добровольных вычислений Beal@Home на платформе BOINC по поиску контрпримера путём полного перебора.

Ссылки

• The Beal Conjecture
• The Beal Conjecture and Prize
• R. Daniel Mauldin (1997). "A Generalization of Fermat's Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem" (PDF). Notices of the AMS. 44 (11): 1436—1439.
• Beal's Conjecture (англ.) на сайте PlanetMath. (недоступная ссылка с 06-06-2013 [4229 дней])
• Beal@Home — сайт проекта добровольных вычислений по проверке гипотезы.