Теорема Вейерштрасса о функции на компакте

Теоре́ма Вейерштра́сса в математическом анализе и общей топологии гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своей верхней и нижней грани.

Формулировка

Пусть дана непрерывная числовая функция, определённая на отрезке, то есть $f\colon [a,\;b]\to \mathbb {R}$ и $f\in C{\bigl (}[a,\;b]{\bigr )}$. Пусть

$M=\sup \limits _{x\in [a,\;b]}f(x),\quad m=\inf \limits _{x\in [a,\;b]}f(x)$

— точные верхняя и нижняя границы множества значений функции $f$ соответственно. Тогда эти значения конечны ($-\infty <m\leqslant M<\infty$) и достигаются (существуют $x_{m},\;x_{M}\in [a,\;b]$ такие, что $f(x_{m})=m,\;f(x_{M})=M$).

Доказательство для R

Пусть $f(x)$ — функция, отвечающая условиям теоремы (на компакте $A$), $M=\sup _{A}f$. Возьмём последовательность чисел $a_{m}$ таких, что $\lim a_{m}=M$ и $a_{m}\leq M$. Для каждого $m$ найдётся точка $x_{m}$, такая что $a_{m}\leq f(x_{m})$. Имеем дело с компактом, поэтому, согласно теореме Больцано — Вейерштрасса из последовательности $x_{m}$ можно выделить сходящуюся последовательность $\{x_{m_{k}}\}$, предел которой лежит в $A$.

Для любого $x_{m}$ справедливо $a_{m}\leq f(x_{m_{k}})\leq M$, поэтому, применяя предельный переход, получаем $\lim f(x_{m_{k}})=M$ и в силу непрерывности функции существует точка $x_{0}$ такая, что $\lim f(x_{m_{k}})=f(x_{0})$ и, следовательно $M=f(x_{0})$.

Таким образом функция $f(x)$ ограничена и достигает своей верхней грани при $x=x_{0}$. Аналогично и для нижней грани.

Замечания

• По определению точки $x_{m}$ и $x_{M}$ являются точками глобального минимума и максимума соответственно. Таким образом непрерывная на отрезке функция достигает на нём своего минимума и максимума.
• В предположениях теоремы отрезок нельзя заменить на открытый интервал. Например, функция тангенс

  $\mathrm {tg} \colon \left(-{\frac {\pi }{2}},\;{\frac {\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R}$

непрерывна в каждой точке области определения, но не ограничена.

• Иногда (в учебных курсах) два утверждения (об ограниченности и достижимости границ) разделяются на две теоремы Вейерштрасса — первую и вторую соответственно.

Обобщения

Теорема Вейерштрасса для полунепрерывных функций

• Пусть функция $f\colon [a,\;b]\to \mathbb {R}$ ограничена и полунепрерывна сверху. Тогда

  $M=\sup \limits _{x\in [a,\;b]}f(x)<+\infty$ и $\exists x_{M}\in [a,\;b]\colon f(x_{M})=M.$

• Пусть функция $f\colon [a,\;b]\to \mathbb {R}$ ограничена и полунепрерывна снизу. Тогда

  $m=\inf \limits _{x\in [a,\;b]}f(x)>-\infty$ и $\exists x_{m}\in [a,\;b]\colon f(x_{m})=m.$

См. также

• Теорема о свойстве Дарбу для непрерывной функции.
• Теорема Больцано — Коши.