Теорема Вейерштрасса о функции на компакте: различия между версиями

[непроверенная версия]

Содержимое удалено Содержимое добавлено

Линейный

Версия от 21:09, 13 января 2015

Теоре́ма Вейерштра́сса в математическом анализе и общей топологии гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своих верхней и нижней граней.

Случай действительных чисел

В частном случае функций действительной переменной (который обычно излагается в учебниках матанализа), теорема формулируется так:

Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ , то она ограничена на нем и притом достигает своих минимального и максимального значений, т.е. существуют $x_{m},\;x_{M}\in [a,\;b]$ такие, что $f(x_{m})\leq f(x)\leq f(x_{M})$ для всех $x\in [a,b]$ .

Доказательство

В силу полноты действительных чисел существует (конечная или бесконечная) точная верхняя грань $M=\sup _{x\in [a,b]}f(x)$ . Поскольку $M$ - точная верхняя грань, существует последовательность $x_{n}$ такая, что $\lim f(x_{n})=M$ . По теореме Больцано — Вейерштрасса из последовательности $x_{n}$ можно выделить сходящуюся подпоследовательность $x_{n_{k}}$ , предел которой (назовем его $x_{M}$ ) также принадлежит отрезку $[a,b]$ . В силу непрерывности функции $f$ имеем $f(x_{M})=\lim f(x_{n_{k}})$ , но с другой стороны $\lim f(x_{n_{k}})=\lim f(x_{n})=M$ . Таким образом, точная верхняя грань $M$ конечна и достигается в точке $x_{M}$ .

Для нижней грани доказательство аналогично.

Замечания

По определению точки $x_{m}$ и $x_{M}$ являются точками глобального минимума и максимума соответственно. Таким образом непрерывная на отрезке функция достигает на нём своего минимума и максимума.
В предположениях теоремы отрезок нельзя заменить на открытый интервал. Например, функция тангенс
$\mathrm {tg} \colon \left(-{\frac {\pi }{2}},\;{\frac {\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R}$

непрерывна в каждой точке области определения, но не ограничена.

Иногда (в учебных курсах) два утверждения (об ограниченности и достижимости границ) разделяются на две теоремы Вейерштрасса — первую и вторую соответственно^[1].

Обобщение для полунепрерывных функций

Пусть функция $f\colon [a,\;b]\to \mathbb {R}$ ограничена и полунепрерывна сверху. Тогда
$M=\sup \limits _{x\in [a,\;b]}f(x)<+\infty$ и $\exists x_{M}\in [a,\;b]\colon f(x_{M})=M.$
Пусть функция $f\colon [a,\;b]\to \mathbb {R}$ ограничена и полунепрерывна снизу. Тогда
$m=\inf \limits _{x\in [a,\;b]}f(x)>-\infty$ и $\exists x_{m}\in [a,\;b]\colon f(x_{m})=m.$

Доказательство в общем случае

Пусть $A$ - компакт и функция $f$ непрерывна на $A$ . Рассмотрим совокупность множеств $V_{n}=f^{-1}((-n,n))$ , где $(-n,n)\subset \mathbb {R}$ - открытый интервал. Эти множества суть открытые (как полные прообразы открытого множества при непрерывном отображении), и очевидно, образуют покрытие $A$ . По определению компакта из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие $V_{n_{k}}$ , откуда имеем $\forall x\in A:f(x)<\max n_{k}$ , ограниченность доказана. Достижение максимума и минимума легко доказать от противного, если рассмотреть функции $[f(x)-\sup f(A)]^{-1}$ , $[f(x)-\inf f(A)]^{-1}$ , и применить к ним только что доказанное утверждение.

См. также

Примечания

↑ http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan2.htm.

[1] ttp://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan2.htm.

[1]

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 {{Чистить|Сначала говорится о топологических пространствах и компактах, а доказательство дается для действительных чисел|Эта статья}}
-'''Теоре́ма [[Вейерштрасс, Карл|Вейерштра́сса]]''' в [[Математический анализ|математическом анализе]] и [[Общая топология|общей топологии]] гласит, что функция, непрерывная на [[Компактное пространство|компакте]], ограничена на нём и достигает своей верхней и нижней грани.
+'''Теоре́ма [[Вейерштрасс, Карл|Вейерштра́сса]]''' в [[Математический анализ|математическом анализе]] и [[Общая топология|общей топологии]] гласит, что [[Функция (математика)|функция]], [[Непрерывное отображение|непрерывная]] на [[Компактное пространство|компакте]], ограничена на нём и достигает своих верхней и нижней граней.
+== Случай действительных чисел ==
-== Формулировка для R ==
+В частном случае функций действительной переменной (который обычно излагается в учебниках матанализа), теорема формулируется так:
-Пусть дана [[Непрерывное отображение|непрерывная]] [[Вещественное число|числовая]] [[Функция (математика)|функция]], определённая на [[Отрезок|отрезке]], то есть <math>f\colon[a,\;b]\to\R</math> и <math>f\in C\bigl([a,\;b]\bigr)</math>. Пусть
-: <math>M=\sup\limits_{x\in[a,\;b]}f(x),\quad m=\inf\limits_{x\in[a,\;b]}f(x)</math>
-— [[Точная верхняя и нижняя границы множеств|точные верхняя и нижняя границы]] [[Множество|множества]] [[Область значений|значений]] функции <math>f</math> соответственно. Тогда эти значения конечны (<math>-\infty<m\leqslant M<\infty</math>) и достигаются (существуют <math>x_m,\;x_M\in[a,\;b]</math> такие, что <math>f(x_m)=m,\;f(x_M)=M</math>).
+Если функция <math>f</math> непрерывна на [[Отрезок|отрезке]] <math>[a,b]</math>, то она ограничена на нем и притом достигает своих минимального и максимального значений, т.е. существуют <math>x_m,\;x_M\in[a,\;b]</math> такие, что <math>f(x_m) \le f(x) \le f(x_M)</math> для всех <math>x \in [a,b]</math>.
-== Доказательство для R ==
-Пусть <math>f(x)</math> — функция, отвечающая условиям теоремы (на компакте <math>A</math>), <math>M = \sup_A f</math>. Возьмём последовательность чисел <math>a_m</math> таких, что <math>\lim a_m = M</math> и <math>a_m \leq M</math>. Для каждого <math>m</math> найдётся точка <math>x_m</math>, такая что <math>a_m \le f(x_m)</math>. Имеем дело с компактом, поэтому, согласно [[Теорема Больцано — Вейерштрасса|теореме Больцано — Вейерштрасса]] из последовательности <math>x_m</math> можно выделить сходящуюся последовательность <math>\{x_{m_k}\}</math>, предел которой лежит в <math>A</math>.
+=== Доказательство ===
-Для любого <math>x_m</math> справедливо <math>a_m \le f(x_{m_k}) \le M</math>, поэтому, применяя [[предельный переход]], получаем <math>\lim f(x_{m_k}) = M</math> и в силу непрерывности функции существует точка <math>x_0</math> такая, что <math>\lim f(x_{m_k}) = f(x_0)</math> и, следовательно <math>M = f(x_0)</math>.
+В силу [[Непрерывность множества действительных чисел|полноты действительных чисел]] существует (конечная или бесконечная) [[точная верхняя грань]] <math>M = \sup_{x \in [a,b]} f(x)</math>. Поскольку <math>M</math> - '''точная''' верхняя грань, существует последовательность <math>x_n</math> такая, что <math>\lim f(x_n) = M</math>. По [[Теорема Больцано — Вейерштрасса|теореме Больцано — Вейерштрасса]] из последовательности <math>x_n</math> можно выделить сходящуюся подпоследовательность <math>x_{n_k}</math>, предел которой (назовем его <math>x_M</math>) также принадлежит отрезку <math>[a,b]</math>.
+В силу непрерывности функции <math>f</math> имеем <math>f(x_M) = \lim f(x_{n_k})</math>, но с другой стороны <math>\lim f(x_{n_k})= \lim f(x_n) = M</math>. Таким образом, точная верхняя грань <math>M</math> конечна и достигается в точке <math>x_M</math>.
+Для нижней грани доказательство аналогично.
-Таким образом функция <math>f(x)</math> ограничена и достигает своей верхней грани при <math>x = x_0</math>. Аналогично и для нижней грани.
-== Замечания ==
+=== Замечания ===
 * По определению точки <math>x_m</math> и <math>x_M</math> являются [[Точка глобального минимума|точками глобального минимума]] и [[Точка глобального максимума|максимума]] соответственно. Таким образом непрерывная на отрезке функция достигает на нём своего [[Глобальный минимум|минимума]] и [[Глобальный максимум|максимума]].
 * В предположениях теоремы отрезок нельзя заменить на [[Промежуток (математика)|открытый интервал]]. Например, функция [[тангенс]]
@@ Строка 21: / Строка 20: @@
 * Иногда (в учебных курсах) два утверждения (об ограниченности и достижимости границ) разделяются на две теоремы Вейерштрасса — первую и вторую соответственно<ref>http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan2.htm.</ref>.
+=== Обобщение для полунепрерывных функций ===
-== Обобщения ==
-=== Теорема Вейерштрасса для полунепрерывных функций ===
 * Пусть функция <math>f\colon[a,\;b]\to\R</math> ограничена и [[Полунепрерывная функция|полунепрерывна]] сверху. Тогда
 *: <math>M=\sup\limits_{x\in[a,\;b]}f(x)<+\infty</math> и <math>\exists x_M\in[a,\;b]\colon f(x_M)=M.</math>
 * Пусть функция <math>f\colon[a,\;b]\to\R</math> ограничена и полунепрерывна снизу. Тогда
 *: <math>m=\inf\limits_{x\in[a,\;b]}f(x)>-\infty</math> и <math>\exists x_m\in[a,\;b]\colon f(x_m)=m.</math>
+== Доказательство в общем случае ==
+Пусть <math>A</math> - компакт и функция <math>f</math> непрерывна на <math>A</math>.
+Рассмотрим совокупность множеств <math>V_n = f^{-1}((-n,n))</math>, где <math>(-n,n) \subset \R</math> - открытый интервал. Эти множества суть открытые (как полные прообразы открытого множества при непрерывном отображении), и очевидно, образуют покрытие <math>A</math>. По определению компакта из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие <math>V_{n_k}</math>, откуда имеем <math>\forall x\in A: f(x) < \max n_k</math>, ограниченность доказана. Достижение максимума и минимума легко доказать от противного, если рассмотреть функции <math>[f(x) - \sup f(A)]^{-1}</math>, <math>[f(x) - \inf f(A)]^{-1}</math>, и применить к ним только что доказанное утверждение.
 == См. также ==

Теорема Вейерштрасса о функции на компакте: различия между версиями

Версия от 21:09, 13 января 2015

Содержание