Параллелограмм

Параллелограмм

Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — линия) — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Свойства

• Противоположные стороны параллелограмма равны.

  $\angle A=\angle C,\angle B=\angle D.$

• Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам.

  $\left|AO\right|=\left|OC\right|,\left|BO\right|=\left|OD\right|$.

• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°( по свойству параллельных прямых).
• Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
• Сумма всех углов равна 360°( сумма углов многоугольника = 180( n - 2), где n кол-во углов).
• Если в параллелограмм можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
• (Тождество параллелограмма) Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть а — длина стороны AB, b — длина стороны BC, $d_{1}$ и $d_{2}$ — длины диагоналей; тогда

  $d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2(a^{2}+b^{2}).$

• Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны и параллельны: $AB=CD,AB\parallel CD$.
2. Противоположные углы попарно равны: $\angle A=\angle C,\angle B=\angle D$.
3. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: $~AO=OC,BO=OD$.
4. Сумма соседних углов равна 180 градусов: $\angle A+\angle B=180^{\circ },\angle B+\angle C=180^{\circ },\angle C+\angle D=180^{\circ },\angle D+\angle A=180^{\circ }$.
5. Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна его полупериметру.
6. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон параллелограмма: $~AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}$

Площадь параллелограмма

$S=a\times h$ , где $a$ — сторона, $h$ — высота, проведенная к этой стороне.

$S=a\times b\times \sin \alpha$, где $a$ и $b$ — стороны, а $\alpha$ — угол между сторонами a и b.

$S={\frac {1}{2}}\ \times d_{1}\times d_{2}\times \sin \alpha$, где $d_{1}$ и $d_{2}$ - диагонали, $\alpha$ - острый угол при их пересечении.

См. также

• Трапеция

• Ромб
• Дельтоид
• Параллелепипед
• Параллелограмм Вариньона