Кепстр

Кепстр  — энергетический спектр функции $\ln[S(\omega )]^{2},$ определяемый выражением

$C_{s}(q)={1 \over 2\pi }\int \limits _{-\infty }^{\infty }\ln[S(\omega )]^{2}e^{i\omega q}\,d\omega .$

Другими словами, кепстр определяет последовательность коэффициентов разложения функции lg [Ф (z)] в степенной ряд.

Аргумент q имеет размерность времени, но это особое, кепстральное время, поскольку $C_{s}(q)$ в любой момент q зависит от функции $s(t)$ исходного сигнала со спектром $S(\omega ),$ заданной при $-\infty <t<\infty .$ Иногда q называют «сачтота» или «кьюфренси» (анаграммы от рус. частота или англ. frequency).

В английском языке есть два аналога этого понятия — Kepstrum и Cepstrum.

Название

Первые упоминания термина «кепстр» относятся к 1963 г., когда Богерт, Хили и Тьюки опубликовали статью с необычным названием «The Quefrency Alanysis of Time Series for Echoes: Cepstrum, Pseudo Autocovariance, Cross-Cepstrum and Saphe Cracking».

В этой статье они заметили, что логарифм спектра мощности колебания, содержащего отраженный сигнал, имеет аддитивную периодическую компоненту, созданную этим сигналом, и поэтому преобразование Фурье от логарифма спектра мощности имеет пик на месте, соответствующем задержке отраженного сигнала. Эту функцию они назвали «кепстром» («cepstrum»), изменяя слово «спектр» («spectrum») и объясняя это тем, что «в общем случае мы действуем в частотной области так, как принято действовать во временной, и наоборот». При этом новое «кепстральное» время было ими названо термином «quefrency» (от английского «frequency»), а фаза - «saphe» (от английского «phase»).

Позже, в 1969 г. Шафер ввел понятие «комплексного кепстра» («complex cepstrum»), опирающегося на использовании информации как о амплитудном, так и о фазовом спектре наблюдаемого сигнала. Метод комплексного кепстра («complex cepstrum») используется для восстановления исходных сигналов из результата их свертки и был назван методом гомоморфном деконволюции или гомоморфной фильтрации.

Первые упоминания термина «kepstrum» относятся к 1978 г., когда Сильвия и Робинсон в своей работе использовали его для обозначения предложенного ими метода анализа сейсмических сигналов. В этом методе используется тот факт, что для минимально-фазовых сигналов kepstrum-спектральные коэффициенты могут быть получен непосредственно из оценки спектра мощности. В большинстве случаев вычисления «kepstrum» и «complex cepstrum» коэффициентов дают почти одинаковые результаты. Оба метода сходны в том, что используют обратное БПФ от логарифмического спектра мощности. А различие между ними состоит в том, что метод «kepstrum» характеризуется kepstrum-коэффициентами, полученными из степенных рядов Колмогорова, что обеспечивает получение теоретических значений («истинных» значений). В то время как метод «complex cepstrum» позволяет получить эмпирические значения kepstrum-коэффициентов (оценки величин), используя прямое БПФ.

Другими словами, «kepstrum»-последовательности коэффициентов в разложении Колмогорова заменяются коэффициентами «complex cepstrum» обратного БПФ.

Коэффициенты «complex cepstrum» являются усеченной версией коэффициентов «kepstrum» и зависят только от длины последовательности данных, а не от статистической вариации.

Иногда термин «kepstrum» связывают с именем советского математика Колмогорова А. Н., которым в работе был предложен специальный функциональный ряд для обработки регулярных стационарных случайных процессов. При этом некоторые авторы считают, что первые буквы слова «kepstrum» могут быть расшифрованными как «Kolmogorov Equation Power Series Time Response», в то же время аббревиатура KEPSTR ни в указанной работе, ни в других работах А. Н. Колмогорова не встречается.

Литература

• Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: Изд-во «Большая Российская Энциклопедия», 1999.
• Kepstrum approach to real-time speech-enhancement methods using two microphones J.JEONG & T.J.MOIR // Institute of Information & Mathematical Sciences, Massey University at Albany, Auckland, New Zealand
• D. G. Childers, D. P. Skinner, R. C. Kemerait, "The Cepstrum: A Guide to Processing," Proceedings of the IEEE, Vol. 65, No. 10, October 1977, pp. 1428–1443.