Уравнение Лапласа

Уравнение Лапласа — уравнение в частных производных. В трёхмерном пространстве уравнение Лапласа записывается так:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0$

Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном пространстве. В двумерном пространстве уравнение Лапласа записывается:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0$

С помощью дифференциального оператора

$\triangle ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

- (оператора Лапласа) -это уравнение записывается также как $\triangle u=0$

Уравнение Лапласа относится к эллиптическому виду. Функции u(x, y, z), являющиеся решениями уравнения Лапласа, называются гармоническими функциями.

В сферических координатах r, ψ, φ уравнение имеет вид
${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}})+{\frac {1}{r^{2}\sin \phi }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}(\sin \phi {\frac {\partial u}{\partial \phi }})+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\phi }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \psi ^{2}}}=0$

В плоском случае
$\triangle ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}$
и уравнение Лапласа
$\triangle u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}$

В полярных координатах r, φ уравнение имеет вид
${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r{\frac {\partial u}{\partial r}})+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \phi ^{2}}}=0$

Применение уравнения Лапласа

Уравнение Лапласа возникает во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики.

Решения уравнения Лапласа

Несмотря на то, что уравнение Лапласа является одним из самых простых в математической физике, его решение сталкивается с трудностями. Особенно трудным бывает численное решение из-за нерегулярности функций и наличия особенностей.

Общее решение

Одномерное пространство

В одномерном вещественном (действительном) пространстве, уравнение Лапласа, сводящееся к равенству нулю второй производной, имеет общим решением, очевидно, линейную функцию:

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle f(x) = const_1 * x + const_2 }

Двумерное пространство

Общее решение уравнения Лапласа на двумерном пространстве называется аналитической функцией. Аналитические функции рассматриваются в теории функций комплексного переменного,и решение уравнения Лапласа можно свести к функции комплексного переменного.

Уравнение Лапласа для двух независимых переменных формулируется в следующем виде

$\varphi _{xx}+\varphi _{yy}=0.\,$

Аналитические функции

Если z = x + iy, и

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y),\,$

то необходимым и достаточным условием того, что функция f(z) является аналитической заключается в условиях Коши — Римана:

$u_{x}=v_{y},\quad v_{x}=-u_{y}.\,$

И действительная и мнимая части аналитических функций удовлетворяют уравнению Лапласа. Продифференцировав условия Коши — Римана, получаем

$u_{yy}=(-v_{x})_{y}=-(v_{y})_{x}=-(u_{x})_{x}.\,$

А это ни что иное, как уравнение Лапласа для функции u. Точно также показывается, что функция v удовлетворяет уравнению Лапласа.

Задача Дирихле

Задача Дирихле - краевые условия для уравнения Лапласа, когда искомая функция задана на ограниченной области, и известны её значения на границе.

Ссылки

• 1. Дж. Шарма, К. Сингх "Уравнения в частных производных для инженеров"
• 2. Метод Якоби
• 3. Козачок А. А. Парадоксы механики сплошных сред. Новые подходы к постановкам и решения некоторых классических задач математической физики: Учеб. пособие для студентов ВУЗов / Под общ. ред. В. Г. Барьяхтара. – Киев: ПВП «Задруга», 2005. (представление общего решения 3-мерного ур-ния на стр.58)на сайте http://a-kozachok1.narod.ru