Ковариантный вектор

"Ковариантным вектором" обычно называют совокупность (строку) координат вектора в дуальном базисе, т.е. его (ковариантных координат) или 1-формы в том же базисе, являющимся, правда, для нее натуральным.

Такие координаты принято записывать с нижним индексом, а также - в виде вектора-строки (в отличие от записи с верхним индексом и вектора-столбца для контравариантных координат и соответственно "контравариантного вектора").

Следует заметить, что "ковариантный вектор" и "контравариантный вектор" являются просто разными представлениями (записями в виде набора чисел) одного и того же геометрического объекта - вектора в настоящем смысле слова или 1-формы. Т.е. оди и тот же вектор может быть записан как ковариантный (т.е. набор ковариантных координат) и контравариантный (т.е. набор контравариантных координат). То же можно сказать об 1-форме. Преобразование одного представления в другое осуществляется просто свёрткой с метрикой:

$\ x_{i}=g_{ij}x^{j}$

$\ x^{i}=g^{ij}x_{j}$

Содержательно же векторы и 1-формы различают лишь по тому, какое из представлений для них "натуральное". Так, для 1-форм натурально разложение по дуальному базису, как например для градиента, для обычных же векторов, таких как dxⁱ - по главному базису.

• Замечание: все эти термины применяются обычно в тензорной алгебре; подразумевается что на пространстве, в котором существуют описанные объекты (или на многообразии, в касательном пространстве которого они существуют) есть метрика (или хотя бы псевдометрика).