Формула Гаусса

Формула Гаусса (соотношение Гаусса, уравнение Гаусса) — выражение для гауссовой кривизны поверхности в трёхмерном римановом пространстве через главные кривизны и секционную кривизну объемлющего пространства:

Пусть $S$ — двумерная поверхность в трёхмерном евклидовом или римановом пространстве $M$. Тогда $K_{S}(x)=K_{M}(\sigma _{S}(x))+\kappa _{1}(x)\kappa _{2}(x),$ где $K_{S}$ — гауссова кривизна поверхности $S$ в точке $x\in S$, $K_{M}(\sigma _{S}(x))$ — секционная кривизна пространства $M$ в направлении $\sigma _{S}(x)$, касательном к поверхности $S$ в точке $x$, $\kappa _{1}(x)$, $\kappa _{2}(x)$ — главные кривизны поверхности $S$ в точке $x.$ Эта формула обобщает формулу $K_{S}(x)=\kappa _{1}(x)\kappa _{2}(x)$ для плоского пространства $M$. Обобщение на большие размерности Формула допускает обобщения на произвольную размерность и коразмерность вложенного подмногообразия $S\subset M$. В этом случае тензор кривизны $R_{S}$ подмногообразия $S$ выражается через сужение тензора кривизны $R_{M}$ пространства $M$ на подпространство касательное к $S$ и вторую квадратичную форму $q_{S}$ подмногообразия $S$ на касательном пространстве $TS$ со значениями в нормальном пространстве к $S$: $\langle R_{S}(X,Y)Z,W\rangle =\langle R_{M}(X,Y)Z,W\rangle +\langle q_{S}(Y,W),q_{S}(X,Z)\rangle -\langle q_{S}(X,W),q_{S}(Y,Z)\rangle .$ Следует иметь в виду, что разные авторы определяют тензор кривизны с разным знаком и порядком аргументов. См. также Формула Гаусса — Бонне Примечания Литература 1. Постников М. М. Риманова геометрия М.: Факториал, 1998, стр. 337. 2. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии М.: Наука, 1981, Т. 2, стр. 30.