Число Лефшеца

Число Лефшеца - инвариант отображения топологического пространства в себя. Пусть $X$ - топологическое пространство, $f:X\to X$ - непрерывное отображение, $H_{*}(X,k)$ - группы гомологий $X$ с коэффициентами в поле $k$, причем для всех достаточно больших $n$ $H_{*}(X,k)=0$, и пусть $t_{n}$ - след линейного преобразования

$f_{*}:H_{n}(X,k)\to H_{n}(X,k)$

По определению, число Лефшеца отображения $f$ есть

$\Lambda (f,X)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{n}t_{n}$

В частности, число Лефшеца тождественного отображения равно эйлеровой характеристике $X$.

Формула Лефшеца

Пусть $X$ - связное ориентируемое $n$-мерное компактное топологическое многообразие или $n$-мерный конечный клеточный комплекс, $f:X\to X$ - непрерывное отображение. Предполагается, что все неподвижные точки отображения $f:X\to X$ изолированы.

Для каждой неподвижной точки $x\in X$ пусть $i(x)$ - её индекс Кронекера (локальная степень отображения $f$ в окрестности точки $x$). Тогда формула Лефшеца для $X$ и $f$ имеет вид

$\sum _{\{x|f(x)=x\}}i(x)=\Lambda (f,X)$

История

Эта формула была установлена впервые Лефшецeм для конечномерных ориентируемых топологических многообразий и для позже конечных клеточных комплексов. Этим работам Лефшеца предшествовала работа Брауэра 1911 о неподвижной точке непрерывного отображения $n$-мерной сферы в себя.