Конформно плоское многообразие: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Tosha (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
Tosha (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
| Строка 2: | Строка 2: | ||
Более формально, пусть (M, ''g'') псевдо-Римановом многообразии. |
Более формально, пусть (M, ''g'') псевдо-Римановом многообразии. |
||
Тогда (M, ''g'') является конформно плоским, если для каждой точки <math>x \in M </math>существует окрестность <math>U \ni |
Тогда (M, ''g'') является конформно плоским, если для каждой точки <math>x \in M </math>существует окрестность <math>U \ni x</math> и [[гладкая функция]] <math>\phi</math> определенная на ''U'' и такая, что <math>(U, e^{2\phi}\cdot g)</math> является плоской (т. е. [[Тензор кривизны|кривизны]] <math> e^{2\phi}\cdot g</math> обращаются в нуль на ''U''). |
||
Функция ''\phi'' называется кноформным фактором, она не должна быть определены на всём ''М''. |
Функция ''\phi'' называется кноформным фактором, она не должна быть определены на всём ''М''. |
||
| Строка 12: | Строка 12: | ||
* В 3-мерном псевдо-Риманово многообразие является конформно плоским, тогда и только тогда когда [[тензор Коттона]] обращается в нуль. |
* В 3-мерном псевдо-Риманово многообразие является конформно плоским, тогда и только тогда когда [[тензор Коттона]] обращается в нуль. |
||
* В n-мерном псевдоримановом многообразии для n ≥ 4 является конформно плоским, если и только если [[тензор Вейля]] обращается в нуль. |
* В n-мерном псевдоримановом многообразии для n ≥ 4 является конформно плоским, если и только если [[тензор Вейля]] обращается в нуль. |
||
== Свойства == |
|||
* Всякое [[Компактное пространство|компактное]], [[Односвязное пространство|односвязное]], конформно плоское Римановом многообразие является конформно эквивалентна [[Гиперсфера|круглую сферу]]. |
* Всякое [[Компактное пространство|компактное]], [[Односвязное пространство|односвязное]], конформно плоское Римановом многообразие является конформно эквивалентна [[Гиперсфера|круглую сферу]]. |
||
== См. также == |
|||
* Вейля–теорема Схаутен |
|||
* конформная геометрия |
|||
[[Категория:Многообразия]] |
[[Категория:Многообразия]] |
||
[[Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия]] |
[[Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия]] |
||
Версия от 12:49, 25 декабря 2015
Конформно плоское многообразие — (псевдо-)Риманово многообразие каждая точка которого имеет окрестность, которая может быть конформно отображена на область Евклидова пространства.
Более формально, пусть (M, g) псевдо-Римановом многообразии. Тогда (M, g) является конформно плоским, если для каждой точки существует окрестность и гладкая функция определенная на U и такая, что является плоской (т. е. кривизны обращаются в нуль на U).
Функция \phi называется кноформным фактором, она не должна быть определены на всём М. Некоторые авторы используют термин локально конформно плоские для описания понятия понятия введённого выше и резервируют термин конформно плоской для случая, в котором функция \phi определяется на всём М.
Примеры
- Любое многообразие с постоянной секционной кривизны является конформно плоским.
- Любое 2-мерное псевдо-Риманово многообразие является конформно плоским.
- В 3-мерном псевдо-Риманово многообразие является конформно плоским, тогда и только тогда когда тензор Коттона обращается в нуль.
- В n-мерном псевдоримановом многообразии для n ≥ 4 является конформно плоским, если и только если тензор Вейля обращается в нуль.
Свойства
- Всякое компактное, односвязное, конформно плоское Римановом многообразие является конформно эквивалентна круглую сферу.