Кинематика точки

Кинема́тика точки  — раздел кинематики, изучающий математическое описание движения материальных точек. Основной задачей кинематики является описание движения при помощи математического аппарата без выяснения причин, вызывающих это движение.

Так как всякое движение понятие относительное и имеет содержание только при указании относительно каких именно тел перемещается рассматриваемый объект, то движение любого объекта в кинематике изучают по отношению к некоторой системе отсчета, включающей:

• тело отсчета;
• систему измерения положения тела в пространстве (систему координат);
• прибор для измерения времени (часы).

Положение точки определяется набором обобщенных координат — упорядоченным набором числовых величин, полностью описывающих положение тела. В самом простом случае это координаты точки (радиус-вектора) в выбранной системе координат. Наиболее наглядное представление о радиус-векторе можно получить в евклидовой системе координат, поскольку базис в ней является фиксированным и общим для любого положения тела.

Кинематика поступательного движения

Основные кинематические понятия

Материальная точка  — тело, размерами которого по сравнению с характерными расстояниями данной задачи можно пренебречь. Так Землю можно считать Материальной Точкой (М. Т.) при изучении её движения вокруг Солнца, пулю можно считать М. Т. при её движении в поле тяжести Земли, но нельзя считать таковой при учете её вращательного движения в стволе винтовки. При поступательном движении в ряде случаев при помощи понятия М. Т. можно описывать и изменение положения более крупных объектов. Так, например, тепловоз, проходящий расстояние 1 метр, может считаться М. Т., поскольку его ориентация относительно системы координат в процессе движения является фиксированной и не влияет на постановку и ход решения задачи.

Радиус-вектор — вектор, определяющий положение материальной точки в пространстве: ${\vec {r}}=\{r_{1},r_{2},...,r_{n}\}$. Здесь $r_{1},r_{2},...,r_{n}$ — координаты радиус-вектора. Геометрически изображается вектором, проведенным из начала координат к материальной точке. Зависимость радиус-вектора (или его координат $r_{i}=r_{i}(t)$) от времени ${\vec {r}}={\vec {r}}(t)$ называется законом движения.

Траектория — Годограф радиус-вектора, то есть — воображаемая линия, описываемая концом радиус-вектора в процессе движения. Иными словами, траектория — это линия вдоль которой движется материальная точка. При этом закон движения выступает как уравнение, задающее траекторию параметрически. Длину участка траектории между начальным и конечным моментами времени часто называют пройденным расстоянием, длиной пути или вульгарно — путем и обозначают буквой S. При таком описании движения S выступает в качестве обобщенной координаты, а законы движения в этом случае записывается в виде S = S(t) и аналогичны соответствующим законам для координат. Например закон равноускоренного криволинейного движения может быть записан в виде:

$S=S_{0}+v_{S_{0}}t+{\frac {a_{S}t^{2}}{2}}$,

Где : $v_{S_{0}}=|{\vec {v}}_{0}|$ — модуль начальной скорости, а $a_{S}=a_{\tau }$ — Тангенциальное ускорение.

Описание движения при помощи понятия траектории — один из ключевых моментов классической механики . В квантовой механике движения носит бестраекторный характер, а значит само понятие траектория теряет смысл.

Основные кинематические величины

Радиус-векторы и вектор перемещения (черные стрелки). Векторы средней и мгновенных скоростей (Зеленые стрелки). Траектория (красная линия)

Разложение ускорения по сопутствующему базису

Перемещение — векторная физическая величина, равная разности радиус-векторов в конечный и начальный моменты времени:

$\Delta {\vec {r}}(t_{2},t_{1})={\vec {r}}(t_{2})-{\vec {r}}(t_{1})$.

Иными словами, перемещение — это приращение радиус-вектора за выбранный промежуток времени.

Средняя скорость — векторная физическая величина равная отношению вектора перемещения к промежутку времени, за который происходит это перемещение:

${\vec {v}}_{cp}(t_{1},t_{2})={\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}={\frac {{\vec {r}}(t_{2})-{\vec {r}}(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}$.

Мгновенная скорость — векторная физическая величина, равная первой производной от радиус-вектора по времени:

${\vec {v}}(t)={\frac {d{\vec {r}}(t)}{dt}}$.

Характеризует быстроту перемещения материальной точки. Мгновенную скорость можно определить как предел средней скорости при устремлении к нулю промежутка времени, на котором она вычисляется:

${\vec {v}}(t_{1})=\lim _{t_{2}\rightarrow t_{1}}{\vec {v}}_{cp}(t_{1},t_{2})=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta {\vec {r}}(t)}{\Delta t}}$.

Единица измерения скорости в системе СИ— м/с, в системе СГС — см/с. Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории.

Мгновенное ускорение — векторная физическая величина, равная второй производной от радиус-вектора по времени и, соответственно, первой производной от мгновенной скорости по времени:

${\vec {a}}(t)={\frac {d{\vec {v}}(t)}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {r}}(t)}{dt^{2}}}$.

Характеризует быстроту изменения скорости. Единица ускорения в системе СИ— м/с², в системе СГС — см/с². В случае движения в плоскости вектор ускорения можно разложить по сопутствующему базису: на вектор нормального и тангенциального ускорения:

${\vec {a}}(t)=a_{n}(t){\vec {n}}+a_{\tau }(t){\vec {\tau }}$.

Здесь ${\vec {n}}$ — единичный вектор нормали, ${\vec {\tau }}$ — единичный вектор касательной. Величина $a_{n}$ называется нормальным ускорением и характеризует скорость изменения направления движения. Нормальное ускорение выражается через мгновенную скорость и радиус кривизны траектории:

$a_{n}(t)={\frac {v(t)^{2}}{R}}$.

В случае движения по окружности нормальное ускорение называется центростремительным. Как видно из предыдущей формулы, при движении по окружности с постоянной скоростью нормальное ускорение постоянно по модулю и направлено к центру окружности.

Величина $a_{\tau }$ называется тангенциальным ускорением и характеризует величину изменения модуля скорости:

$a_{\tau }={\frac {d|v|}{dt}}$.

Преобразования Галилея

Если ИСО S' движется относительно ИСО S с постоянной скоростью  вдоль оси , а начала координат совпадают в начальный момент времени в обеих системах, то преобразования Галилея имеют вид:

$x'=x-ut,$

$y'=y,$

$z'=z,$

$t'=t$

или, используя векторные обозначения,

${\vec {r'}}={\vec {r}}-{\vec {u}}t,$

$t'=t$

(последняя формула остается верной для любого направления осей координат).

Примеры законов движения, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка

Закон равноускоренного движения

Равноускоренное движение в поле тяжести Земли

Закон равноускоренного движения получается в результате решения простейшего дифференциального уравнения вида:

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=A$

Общее решение этого уравнения дается формулой:

$x(t)=C_{1}+C_{2}t+{\frac {At^{2}}{2}}$ ;

Здесь $C_{1}$ и $C_{2}$ — произвольные константы, соответствующие начальной координате и начальной скорости.

Движение с постоянным ускорением ${\vec {a}}(t)=const$ называют равноускоренным. Движение с постоянным ускорением подчиняется закону:

${\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}(t)+{\vec {v_{0}}}t+{\frac {{\vec {a}}t^{2}}{2}}$ ;

${\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}t$ .

При этом уравнения движения в координатной форме имеют аналогичный вид:

$x(t)=x_{0}(t)+{v_{x_{0}}}t+{\frac {a_{x}t^{2}}{2}}$ ;

$v_{x}(t)=v_{x_{0}}+a_{x}t$ .

В этом случае часто говорят о равноускоренном движении, если знаки $a_{x}$ и $v_{x}(t)$ совпадают и о равнозамедленном, если $a_{x}$ и $v_{x}(t)$ имеют противоположные знаки. При этом знак каждой из величин зависит от начального выбора системы отсчета.

Частный случай равноускоренного движения — равномерное движение. В этом случае ${\vec {a}}(t)=0$. Тогда движение описывается закону:

${\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}(t)+{\vec {v_{0}}}t$

См. также

• Кинематика твёрдого тела

Литература

1. Стрелков С. П. Механика. М.: Наука, 1975.
2. Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1979. — Т. I. Механика. — 520 с.
3. Матвеев А. Н. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986.
4. Хайкин С. Э. Физические основы механики. М.: Наука, 1971.