Дифференциальное уравнение Бернулли

Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

$y'+a(x)y=b(x)y^{n},\quad n\neq 0,\,1$

называется уравнением Бернулли (при $n=0$ или $n=1$ получаем неоднородное или однородное линейное уравнение).

При $n=2$ является частным случаем уравнения Риккати. Названо в честь Якоба Бернулли, опубликовавшего это уравнение в 1695 году.

Метод решения с помощью замены, сводящей это уравнение к линейному, нашёл его брат Иоганн Бернулли в 1697 году.

Метод решения

Первый способ

Разделим все члены уравнения на

$y^{n},\!$

получим

${\frac {dy}{dx}}\!y^{-n}+a(x)y^{-n+1}=b(x).$

Делая замену

$z=y^{-n+1}\!$

и дифференцируя, получаем:

${\frac {dz}{dx}}=(-n+1)y^{-n}{\frac {dy}{dx}}.$

Это уравнение приводится к линейному:

${\frac {dz}{dx}}+(-n+1)a(x)z=(-n+1)b(x)$

и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.

Второй способ

Заменим

$y=uv,\,$

тогда:

${\dot {u}}v+u({\dot {v}}+a(x)v)=b(x)(uv)^{n}.$

Подберем $v(x)\not \equiv 0$ так, чтобы было

${\dot {v}}+a(x)v=0,\!$

для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка. После этого для определения $u\!$ получаем уравнение ${\frac {\dot {u}}{u^{n}}}=b(x)v^{n-1}$ — уравнение с разделяющимися переменными.

Пример

Уравнение

$y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}$

разделим на $\,y^{2},$ получаем:

$y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}.$

Замена переменных

$w={\frac {1}{y}}$

дает:

$w'={\frac {-y'}{y^{2}}},$

$w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}.$

$M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}dx}=x^{2}.$

Делим на $M(x)$,

$w'x^{2}+2xw=x^{4},\,$

$\int (wx^{2})'dx=\int x^{4}dx$

$wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C$

${\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C.$

Результат:

$y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}.$

Литература

• А. Ф. Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям, — Любое издание.
• В. В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений, — Любое издание.
• Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.