Решение треугольников

Решение треугольников (лат. solutio triangulorum) — исторический термин, означающий решение главной тригонометрической задачи: по известным данным о треугольнике (стороны, углы и т. д.) найти остальные его характеристики. Существуют также обобщения этой задачи на случай, когда заданы другие элементы треугольника (например, медианы, биссектрисы, высоты, площади и т. д.). Треугольник может располагаться на плоскости или на сфере. Данная задача часто встречается в тригонометрических приложениях, например, в геодезии, астрономии, строительстве, навигации.

Решение плоских треугольников

Стандартные обозначения в треугольнике

У треугольника общего вида имеется 6 основных характеристик: 3 линейные (длины сторон $a,b,c$) и 3 угловые ($\alpha ,\beta ,\gamma$). Сторону, противолежащую углу при вершине, принято обозначать той же буквой, что и эта вершина, но не заглавной, а строчной, см. рисунок. В классической задаче плоской тригонометрии заданы 3 из этих 6 характеристик, и нужно определить 3 остальные. Очевидно, если известны только 2 или 3 угла, однозначного решения не получится, так как любой треугольник, подобный данному, тоже будет решением, поэтому далее предполагается, что хотя бы одна из известных величин — линейная.

Алгоритм решения задачи зависит от того, какие именно характеристики треугольника считаются известными. Далее заданные величины символически обозначаются С (сторона) и У (угол). Поскольку сочетание УУУ исключено из рассмотрения, остаются 5 различных вариантов:

• Три стороны (ССС);
• Две стороны и угол между ними (СУС);
• Две стороны и угол напротив одной из них (УСС);
• Сторона и два прилежащих угла (УСУ);
• Сторона, противолежащий угол и один из прилежащих (УУС).

Основные теоремы

Стандартным методом решения задачи является использование нескольких фундаментальных соотношений, выполняющихся для всех плоских треугольников:

Теорема косинусов

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc*\cos \alpha$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac*\cos \beta$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab*\cos \gamma$

Теорема синусов

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$

Сумма углов треугольника

$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$

Из других иногда полезных на практике универсальных соотношений следует упомянуть теорему тангенсов, теорему котангенсов и формулы Мольвейде.

Замечания

1. Для нахождения неизвестного угла надёжнее использовать теорему косинусов, а не синусов. Причина в том, что значение синуса угла при вершине треугольника не определяет однозначно самого угла. Например, если $\sin \beta =0{,}5,$ то угол $\beta$ может быть как $30^{\circ }$, так и $150^{\circ }$, потому что синусы этих углов совпадают. Исключением является случай, когда заранее известно, что в данном треугольнике тупых углов быть не может — например, если треугольник прямоугольный. С косинусом такие проблемы не возникают, в интервале от $0^{\circ }$ до $180^{\circ }$ значение косинуса определяет угол однозначно.
2. При построении треугольников важно помнить, что зеркальное отражение построенного треугольника тоже будет решением задачи. Например, три стороны однозначно определяют треугольник с точностью до отражения.
3. Все треугольники подразумеваются невырожденными, то есть длина стороны не может быть нулевой, а величина угла — положительное число, меньшее, чем $180^{\circ }$.

Заданы три стороны

Три стороны

Пусть заданы длины всех трёх сторон $a,b,c$. Условие разрешимости задачи — выполнение неравенства треугольника, то есть каждая длина должна быть меньше, чем сумма двух других длин:

$a<b+c;\;b<a+c;\;c<a+b$

Чтобы найти углы $\alpha ,\beta$, надо воспользоваться теоремой косинусов:

$\alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

$\beta =\arccos {\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}$

Третий угол сразу находится из правила, что сумма всех трёх углов должна быть равна 180°:

$~\gamma =180^{\circ }-(\alpha +\beta )$.

Не рекомендуется второй угол находить по теореме синусов, потому что, как указано в вышеприведенном замечании 1, при этом существует опасность спутать тупой угол с острым. Этой опасности не возникнет, если первым определить, по теореме косинусов, наибольший угол, лежащий против наибольшей из сторон — два других угла точно являются острыми, и применение к ним теоремы синусов безопасно.

Ещё один метод вычисления углов по известным сторонам — использование теоремы котангенсов.

Заданы две стороны и угол между ними

Две стороны и угол между ними

Пусть для определённости известны длины сторон $a,b$ и угол $\gamma$ между ними. Этот вариант задачи всегда имеет единственное решение. Для определения длины стороны $c$ вновь применяется теорема косинусов:

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}$

Фактически задача сведена к предыдущему случаю. Далее ещё раз применяется теорема косинусов для нахождения второго угла:

$\alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}=\arccos {\frac {b-a\cos \gamma }{\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}}$

Третий угол находится из теоремы о сумме углов треугольника: $\beta =180^{\circ }-\alpha -\gamma$.

Заданы две стороны и угол не между ними

Две стороны и угол напротив одной из них

В этом случае могут существовать два решения, единственное решение или вообще не быть решений. Пусть, например, известны две стороны $b,c$ и угол $\beta$. Уравнение для угла $\gamma$ находится из теоремы синусов:

$\sin \gamma ={\frac {c}{b}}\sin \beta$

Для краткости обозначим $~D={\frac {c}{b}}\sin \beta$ (правая часть уравнения). При решении уравнения возможны 4 случая .

1. Задача не имеет решения (сторона $b$ «не достаёт» до линии BC) в двух случаях: если $D>1$ или если угол $\beta \geqslant 90^{\circ }$ и при этом $b\leqslant c.$
2. Если $D=1$, существует единственное решение, причём треугольник прямоугольный, $\gamma =90^{\circ }.$

Два возможных решения

3. Если $D<1$, то возможны 2 варианта.
   1. Если $b<c$, то угол $\gamma$ имеет два возможных значения: острый угол $~\gamma =\arcsin D$ и тупой угол $~\gamma '=180^{\circ }-\gamma$. На рисунке справа первому значению соответствуют точка $C$, сторона $b$ и угол $\gamma$, а второму значению — точка $C'$, сторона $b'=b$ и угол $\gamma '$.
   2. Если $b\geqslant c$, то $\beta \geqslant \gamma$ (как известно, большей стороне треугольника соответствует больший противолежащий угол). Поскольку в треугольнике не может быть двух тупых углов, тупой угол для $~\gamma$ исключён, и решение $~\gamma =\arcsin D$ единственно.

Третий угол определяется по формуле $~\alpha =180^{\circ }-\beta -\gamma$. Третью сторону можно найти по теореме синусов:

$a=b\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}$

Заданы сторона и прилежащие к ней углы

Сторона и два угла

Пусть задана сторона $c$ и два угла. Эта задача имеет единственное решение, если сумма двух углов меньше $180^{\circ }$. В противном случае задача решения не имеет.

Вначале определяется третий угол. Например, если даны углы $\alpha ,\beta$, то $~\gamma =180^{\circ }-\alpha -\beta$. Далее обе неизвестные стороны находятся по теореме синусов:

$a=c\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }};\quad b=c\ {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}$

Решение прямоугольных треугольников

Прямоугольный треугольник

В этом случае известен один из углов — он равен 90°. Необходимо знать ещё два элемента, хотя бы один из которых — сторона. Возможны следующие случаи:

• два катета;
• катет и гипотенуза;
• катет и прилежащий острый угол;
• катет и противолежащий острый угол;
• гипотенуза и острый угол.

Принято обозначать вершину прямого угла буквой C, а гипотенузу — $c$. Катеты обозначаются $a$ и $b$, а величины противолежащих им углов — α и β соответственно.

Расчётные формулы существенно упрощаются, так как вместо теорем синусов и косинусов можно использовать более простые соотношения — теорему Пифагора:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

и определения основных тригонометрических функций:

$\sin \alpha =\cos \beta ={\frac {a}{c}},\quad \cos \alpha =\sin \beta ={\frac {b}{c}},$

$\mathrm {tg} \alpha =\mathrm {ctg} \beta ={\frac {a}{b}},\quad \mathrm {ctg} \alpha =\mathrm {tg} \beta ={\frac {b}{a}}.$

Ясно также, что углы α и β — острые, так как их сумма равна $90^{\circ }$. Поэтому любой из неизвестных углов однозначно определяется по любой из его тригонометрических функций (синусу, косинусу, тангенсу и др.) путём вычисления соответствующей обратной тригонометрической функции.

При корректной постановке задачи (если заданы гипотенуза и катет, то катет должен быть меньше гипотенузы; если задан один из двух непрямых углов, то он должен быть острый) решение всегда существует и единственно.

Два катета

Гипотенуза находится по теореме Пифагора:

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$

Углы могут быть найдены с использованием функции арктангенса:

$\alpha =\operatorname {arctg} \,{\frac {a}{b}},\quad \beta =\operatorname {arctg} \,{\frac {b}{a}}$

или же по только что найденной гипотенузе:

$\alpha =\arcsin {\frac {a}{c}}=\arccos {\frac {b}{c}},\quad \beta =\arcsin {\frac {b}{c}}=\arccos {\frac {a}{c}}.$

Катет и гипотенуза

Пусть известны катет $b$ и гипотенуза $c$, тогда катет $a$ находится из теоремы Пифагора:

$a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}.$

После этого углы определяются аналогично предыдущему случаю.

Катет и прилежащий острый угол

Пусть известны катет $b$ и прилежащий к нему угол α.

Гипотенуза $c$ находится из соотношения

$c={\frac {b}{\cos \alpha }}.$

Катет $a$ может быть найден либо по теореме Пифагора аналогично предыдущему случаю, либо из соотношения

$a=b\ \mathrm {tg} \,\alpha .$

Острый угол β может быть найден как

$\beta =90^{\circ }-\alpha .$

Катет и противолежащий острый угол

Пусть известны катет $b$ и противолежащий ему угол β.

Гипотенуза $c$ находится из соотношения

$c={\frac {b}{\sin \beta }}.$

Катет $a$ и второй острый угол α могут быть найдены аналогично предыдущему случаю.

Гипотенуза и острый угол

Пусть известны гипотенуза $c$ и острый угол β.

Острый угол α может быть найден как

$\alpha =90^{\circ }-\beta .$

Катеты определяются из соотношений

$a=c\sin \alpha =c\cos \beta ,$

$b=c\sin \beta =c\cos \alpha .$

Решение сферических треугольников

Сферический треугольник общего вида полностью определяется тремя из шести своих характеристик (3 стороны и 3 угла). Стороны сферического треугольника $a,b,c$ принято измерять не линейными единицами, а величиной опирающихся на них центральных углов.

Решение треугольников в сферической геометрии имеет ряд отличий от плоского случая. Например, сумма трёх углов $\alpha +\beta +\gamma$ зависит от треугольника; кроме того, на сфере не существует неравных подобных треугольников, и поэтому задача построения треугольника по трём углам имеет единственное решение. Но базовые соотношения, используемые для решения задачи, аналогичны плоскому случаю: сферические теоремы косинусов и сферическая теорема синусов.

Из других соотношений могут оказаться полезными формулы аналогии Непера и формула половины стороны.

Заданы три стороны

Три стороны

Если стороны $a,b,c$ заданы (в угловых единицах), то углы треугольника определяются из теоремы косинусов:

$\alpha =\arccos \left({\frac {\cos a-\cos b\ \cos c}{\sin b\ \sin c}}\right)$,

$\beta =\arccos \left({\frac {\cos b-\cos c\ \cos a}{\sin c\ \sin a}}\right)$,

$\gamma =\arccos \left({\frac {\cos c-\cos a\ \cos b}{\sin a\ \sin b}}\right)$,

Заданы две стороны и угол между ними

Две стороны и угол между ними

Пусть заданы стороны $a,b$ и угол $\gamma$ между ними. Сторона $c$ находится по теореме косинусов:

$c=\arccos \left(\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma \right)$

Углы $\alpha ,\beta$ можно найти так же, как в предыдущем варианте, можно также использовать формулы аналогии Непера:

$\alpha =\operatorname {arctg} \ {\frac {2\sin a}{\operatorname {tg} ({\frac {\gamma }{2}})\sin(b+a)+\operatorname {ctg} ({\frac {\gamma }{2}})\sin(b-a)}}$

$\beta =\operatorname {arctg} \ {\frac {2\sin b}{\operatorname {tg} ({\frac {\gamma }{2}})\sin(a+b)+\operatorname {ctg} ({\frac {\gamma }{2}})\sin(a-b)}}$,

Заданы две стороны и угол не между ними

Две стороны и угол не между ними

Пусть заданы стороны $b,c$ и угол $\beta$. Чтобы решение существовало, необходимо выполнение условия:

$b>\arcsin(\sin c\,\sin \beta )$

Угол $\gamma$ получается из теоремы синусов:

$\gamma =\arcsin \left({\frac {\sin c\,\sin \beta }{\sin b}}\right)$

Здесь, аналогично плоскому случаю, при $b<c$ получаются два решения: $\gamma$ и $~180^{\circ }-\gamma$.

Остальные величины можно найти из формул аналогии Непера:

$a=2\operatorname {arctg} \left\{\operatorname {tg} \left({\frac {1}{2}}(b-c)\right){\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}(\beta +\gamma )\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right)}}\right\}$,

$\alpha =2\operatorname {arcctg} \left\{\operatorname {tg} \left({\frac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right){\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}(b+c)\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(b-c)\right)}}\right\}$.

Заданы сторона и прилежащие углы

Сторона и прилежащие углы

В этом варианте задана сторона $c$ и углы $\alpha ,\beta$. Угол $\gamma$ определяется по теореме косинусов:

$\gamma =\arccos(\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta )\,$,

Две неизвестные стороны получаются из формул аналогии Непера:

$a=\operatorname {arctg} \left\{{\frac {2\sin \alpha }{\operatorname {ctg} (c/2)\sin(\beta +\alpha )+\operatorname {tg} (c/2)\sin(\beta -\alpha )}}\right\}$

$b=\operatorname {arctg} \left\{{\frac {2\sin \beta }{\operatorname {ctg} (c/2)\sin(\alpha +\beta )+\operatorname {tg} (c/2)\sin(\alpha -\beta )}}\right\}$

или, используя вычисленный угол $\gamma$, по теореме косинусов:

$a=\arccos \left({\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }}\right)$

$b=\arccos \left({\frac {\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }}\right)$

Заданы два угла и сторона не между ними

Два угла и сторона не между ними

Пусть заданы сторона $a$ и углы $\alpha ,\beta$. Сторона $b$ определяется по теореме синусов:

$b=\arcsin \left({\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}\right)$,

Если угол для стороны $a$ острый и $\alpha >\beta$, существует второе решение:

$b=\pi -\arcsin \left({\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}\right)$

Остальные величины определяются из формул аналогии Непера:

$c=2\operatorname {arctg} \left\{\operatorname {tg} \left({\frac {1}{2}}(a-b)\right){\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right)}}\right\}$,

$\gamma =2\operatorname {arcctg} \left\{\operatorname {tg} \left({\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right){\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}(a+b)\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(a-b)\right)}}\right\}$,

Заданы три угла

Три угла

Если заданы три угла, стороны находятся по теореме косинусов:

$a=\arccos \left({\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }}\right)$,

$b=\arccos \left({\frac {\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }}\right)$,

$c=\arccos \left({\frac {\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}\right)$.

Другой вариант: использование формулы половины угла.

Решение прямоугольных сферических треугольников

Изложенные алгоритмы значительно упрощаются, если известно, что один из углов треугольника (например, угол $C$) прямой. Прямоугольный сферический треугольник полностью определяется двумя элементами, остальные три находятся при помощи мнемонического правила Непера или из нижеприведенных соотношений.

$\sin a=\sin c\cdot \sin \alpha =\operatorname {tg} b\cdot \operatorname {ctg} \beta$

$\sin b=\sin c\cdot \sin \beta =\operatorname {tg} a\cdot \operatorname {ctg} \alpha$

$\cos c=\cos a\cdot \cos b=\operatorname {ctg} \alpha \cdot \operatorname {ctg} \beta$

$\operatorname {tg} a=\sin b\cdot \operatorname {tg} \alpha$

$\operatorname {tg} b=\operatorname {tg} c\cdot \cos \alpha$

$\cos \alpha =\cos a\cdot \sin \beta =\operatorname {tg} b\cdot \operatorname {ctg} c$

$\cos \beta =\cos b\cdot \sin \alpha =\operatorname {tg} a\cdot \operatorname {ctg} c$

Вариации и обобщения

Во многих практически важных задачах вместо сторон треугольника задаются другие его характеристики — например, длина медианы, высоты, биссектрисы, радиус вписанного или описанного круга и т. д. Аналогично вместо углов при вершинах треугольника в задаче могут фигурировать иные углы. Алгоритмы решения подобных задач чаще всего комбинируются из рассмотренных выше теорем тригонометрии.

Примеры:

• Задача Региомонтана: построить треугольник, если известны одна его сторона, длина опущенной на неё высоты и противолежащий угол.
• Задача Снеллиуса-Потенота.
• Задача Томаса Финке: найти углы треугольника, если известна сумма двух углов $\alpha +\beta$ и отношение противолежащих сторон $a:b$.
• Задача Ньютона: решить треугольник, если известны одна его сторона, противолежащий угол и сумма двух других сторон.

Примеры практического применения

Триангуляция

Определение расстояния с помощью триангуляции

Основная статья: Триангуляция (геодезия)

Чтобы определить расстояние $d$ от берега до недоступной точки — например, до удалённого корабля,— нужно отметить на берегу две точки, расстояние $l$ между которыми известно, и измерить углы $\alpha$ и $\beta$ между линией, соединяющей эти точки, и направлением на корабль. Из формул варианта «сторона и прилежащие к ней углы» можно найти длину высоты треугольника:

$d={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}\,l={\frac {\operatorname {tg} \alpha \,\operatorname {tg} \beta }{\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta }}\,l$

Этот метод используется в каботажном судоходстве. Углы $\alpha ,\beta$ при этом оцениваются наблюдениями с корабля известных ориентиров на земле. Аналогичная схема используется в астрономии, чтобы определить расстояние до близкой звезды: измеряются углы наблюдения этой звезды с противоположных точек земной орбиты (то есть с интервалом в полгода) и по их разности (параллаксу) вычисляют искомое расстояние.

Определение высоты горы

Другой пример: требуется измерить высоту $h$ горы или высокого здания. Известны углы $\alpha ,\beta$ наблюдения вершины из двух точек, расположенных на расстоянии $l$. Из формул того же варианта, что и выше, получается:

$h={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\beta -\alpha )}}\,l={\frac {\operatorname {tg} \alpha \,\operatorname {tg} \beta }{\operatorname {tg} \beta -\operatorname {tg} \alpha }}\,l$

Расстояние между двумя точками на поверхности земного шара

Надо вычислить расстояние между двумя точками на земном шаре:

Точка A: широта $\lambda _{\mathrm {A} },$ долгота $L_{\mathrm {A} },$

Точка B: широта $\lambda _{\mathrm {B} },$ долгота $L_{\mathrm {B} },$

Для сферического треугольника $ABC$, где $C$ — северный полюс, известны следующие величины:

$a=90^{\mathrm {o} }-\lambda _{\mathrm {B} }\,$

$b=90^{\mathrm {o} }-\lambda _{\mathrm {A} }\,$

$\gamma =L_{\mathrm {A} }-L_{\mathrm {B} }\,$

Это случай «две стороны и угол между ними». Из приведенных выше формул получается:

$\mathrm {AB} =R\arccos \left\{\sin \lambda _{\mathrm {A} }\,\sin \lambda _{\mathrm {B} }+\cos \lambda _{\mathrm {A} }\,\cos \lambda _{\mathrm {B} }\,\cos \left(L_{\mathrm {A} }-L_{\mathrm {B} }\right)\right\}$,

где $R$ — радиус Земли.

История

Основная статья: История тригонометрии

Зачатки тригонометрических знаний можно найти в математических рукописях Древнего Египта, Вавилона и Древнего Китая. Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя теоремы Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э.

Общая постановка задачи решения треугольников (как плоских, так и сферических) появилась в древнегреческой геометрии. Во второй книге «Начал» Евклида теорема 12 представляет собой словесный аналог теоремы косинусов для тупоугольных треугольников:

В тупоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей тупой угол, больше [суммы] квадратов на сторонах, содержащих тупой угол, на дважды взятый прямоугольник, заключённый между одной из сторон при тупом угле, на которую падает перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром снаружи отрезком при тупом угле.

Следующая за ней теорема 13 — вариант теоремы косинусов для остроугольных треугольников. Аналога теоремы синусов у греков не было, это важнейшее открытие было сделано гораздо позднее: древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике», написанной в XIII веке.

Первые тригонометрические таблицы составил, вероятно, Гиппарх в середине II века до н. э. для астрономических расчётов. Позднее астроном II века Клавдий Птолемей в «Альмагесте» дополнил результаты Гиппарха. Первая книга «Альмагеста» — самая значимая тригонометрическая работа всей античности. В частности, «Альмагест» содержит обширные тригонометрические таблицы хорд для острых и тупых углов, с шагом 30 угловых минут. В таблицах Птолемей приводит значение длин хорд с точностью до трех шестидесятиричных знаков. Такая точность примерно соответствует пятизначной десятичной таблице синусов с шагом 15 угловых минут.

Птолемей явно не формулирует теорему синусов и косинусов для треугольников. Тем не менее он всегда справляется с задачей решения треугольников, разбивая треугольник на два прямоугольных.

Параллельно с развитием тригонометрии плоскости греки, под влиянием астрономии, далеко продвинули сферическую тригонометрию. Решающим этапом в развитии теории стала монография «Сферика» в трёх книгах, которую написал Менелай Александрийский (около 100 года н. э.). В первой книге он изложил теоремы о сферических треугольниках, аналогичные теоремам Евклида о плоских треугольниках (см. I книгу «Начал»). По сообщению Паппа, Менелай первым ввёл понятие сферического треугольника как фигуры, образованной отрезками больших кругов. Несколько десятилетий спустя Клавдий Птолемей в своих трудах «География», «Аналемма» и «Планисферий» даёт подробное изложение тригонометрических приложений к картографии, астрономии и механике.

В IV веке, после упадка античной науки, центр развития математики переместился в Индию. Сочинения индийских математиков (сиддханты) показывают, что их авторы были хорошо знакомы с трудами греческих астрономов и геометров. Чистой геометрией индийцы интересовались мало, но их вклад в прикладную астрономию и расчётные аспекты тригонометрии очень значителен. В частности, индийцы первыми ввели в использование косинус. Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов $\sin n\varphi$, $\cos n\varphi$ для $n=2,3,4,5$. В «Сурья-сиддханте» и в трудах Брахмагупты при решении задач фактически используется сферический вариант теоремы синусов, однако общая формулировка этой теоремы в Индии так и не появилась.

В VIII веке учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами древнегреческих и индийских математиков и астрономов. Их астрономические трактаты, аналогичные индийским сиддхантам, назывались «зиджи»; типичный зидж представлял собой сборник астрономических и тригонометрических таблиц, снабжённый руководством по их использованию и (не всегда) изложением общей теории. Сравнение зиджей периода VIII—XIII веков показывает быструю эволюцию тригонометрических знаний. Самые ранние из сохранившихся трудов принадлежат ал-Хорезми и ал-Марвази (IX век), которые рассмотрели, наряду с известными ещё индийцам синусом и косинусом, новые тригонометрические функции: тангенс, котангенс, секанс и косеканс.

Сабит ибн Курра (IX век) и ал-Баттани (X век) первыми открыли фундаментальную теорему синусов для частного случая прямоугольного сферического треугольника. Для произвольного сферического треугольника доказательство было найдено (разными способами и, вероятно, независимо друг от друга) Абу-л-Вафой, ал-Худжанди и ибн Ираком в конце X века. В другом трактате ибн Ирака сформулирована и доказана теорема синусов для плоского треугольника. Сферическая теорема косинусов в общем виде сформулирована в странах ислама не была, однако в трудах Сабита ибн Курры, ал-Баттани и других астрономов имеются эквивалентные ей утверждения.

Фундаментальное изложение тригонометрии как самостоятельной науки (как плоской, так и сферической) дал персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси в 1260 году. Его «Трактат о полном четырёхстороннике» содержит практические способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решенных самим ат-Туси — например, построение сторон сферического треугольника по заданным трём углам. Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые теоремы, необходимые для эффективного решения треугольников.

В Европе развитие тригонометрической теории стало чрезвычайно важным в Новое время, в первую очередь для артиллерии, оптики и навигации при дальних морских путешествиях. В 1551 году появились 15-значные тригонометрические таблицы Ретика, ученика Коперника, с шагом 10". Потребность в сложных тригонометрических расчётах вызвала в начале XVII века открытие логарифмов, причём первые логарифмические таблицы Джона Непера содержали только логарифмы тригонометрических функций. Среди других открытий Непера — эффективный алгоритм решения сферических треугольников, получивший название «формулы аналогии Непера». Алгебраизация тригонометрии, начатая Франсуа Виетом, была завершена Леонардом Эйлером в XVIII веке, после чего алгоритмы решения треугольников приобрели современный вид.

См. также

• Площадь треугольника
• Сферическая тригонометрия
• Сферический треугольник
• Триангуляция
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции
• Формулы Мольвейде

Литература

Теория и алгоритмы

• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия: 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. — 19-е изд.. — М.: Просвещение, 2009. — 384 с. — ISBN 978-5-09-021136-9.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
• Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия, учебник для 10 класса. — М.: МЦНМО, 2002. — ISBN 5-94057-050-X.
• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
• Мензел Д. (ред.). Основные формулы физики. Глава 1. Основные математические формулы. — М.: Изд. иностранной литературы, 1957. — 658 с.
• Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии // Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах). — М.: Физматгиз, 1963. — Т. 4. — С. 518-557. — 568 с.
• Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948.

История

• Глейзер Г. И. История математики в школе. VII-VIII классы. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1982. — С. 76-95. — 240 с.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. IX-X классы. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1983. — 352 с.
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.
  • История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
  • Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
  • Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
• Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии: Древняя Греция. Средневековый Восток. Позднее Средневековье. — Изд. 2-е. — М.: Либроком, 2012. — 160 с. — (Физико-математическое наследие: математика (история математики)). — ISBN 978-5-397-02777-9.
• Рыбников К. А. История математики в двух томах. — М.: Изд. МГУ, 1960. — Т. I.
• Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П. Абу Райхан Беруни и его математические труды. Пособие для учащихся. — М.: Просвещение, 1978. — 95 с. — (Люди науки).
• Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. — М.—Л.: ГТТИ, 1932. — 230 с.
• Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. — М.—Л.: ОНТИ, 1938. — 456 с.