Зацепление Хопфа: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Интерактивная навигация по истории
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
м Бот: удаление шаблона {{не переведено}}
Строка 20: Строка 20:
Зацепления Хопфа является (2,2)-[[Торический узел|торическим зацеплением]]{{sfn|Kauffman|1987|с=373}} с [[Группа кос|описывающим словом]]{{sfn|Adams|2004|с=133, Exercise 5.22}} <math>\sigma_1^2</math>.
Зацепления Хопфа является (2,2)-[[Торический узел|торическим зацеплением]]{{sfn|Kauffman|1987|с=373}} с [[Группа кос|описывающим словом]]{{sfn|Adams|2004|с=133, Exercise 5.22}} <math>\sigma_1^2</math>.


{{не переведено 5|Дополнение узла|Дополнение||knot complement}} зацепления Хопфа — <math>\R \times S^1 \times S^1</math>, [[цилиндр]] над [[Тор (поверхность)|тором]]{{sfn|Turaev|2010|с=194 }}. Это пространство имеет [[Гипотеза Тёрстона|локально евклидову геометрию]], так что зацепление Хопфа не является {{не переведено 5|Гиперболическое зацепление|гиперболическим||hyperbolic link}}. [[Группа узла|Группа узлов]] зацепления Хопфа ([[фундаментальная группа]] его дополнения) — это <math>\Z^2</math> ([[свободная абелева группа]] на двух генераторах) и она отличает зацепление Хопфа от двух незацеплённых окружностей, которым соответствует [[свободная группа]] на двух генераторах{{sfn|Hatcher|2002|с=24}}.
{{не переведено 5|Дополнение узла|Дополнение||knot complement}} зацепления Хопфа — <math>\R \times S^1 \times S^1</math>, [[цилиндр]] над [[Тор (поверхность)|тором]]{{sfn|Turaev|2010|с=194 }}. Это пространство имеет [[Гипотеза Тёрстона|локально евклидову геометрию]], так что зацепление Хопфа не является [[Гиперболическое зацепление|гиперболическим]]. [[Группа узла|Группа узлов]] зацепления Хопфа ([[фундаментальная группа]] его дополнения) — это <math>\Z^2</math> ([[свободная абелева группа]] на двух генераторах) и она отличает зацепление Хопфа от двух незацеплённых окружностей, которым соответствует [[свободная группа]] на двух генераторах{{sfn|Hatcher|2002|с=24}}.


Зацепление Хопфа не раскрашиваемо в три цвета<ref>См. [[:en:tricolorability]].</ref>. Это непосредственно следует из факта, что зацепление можно раскрасить лишь в два цвета, что противоречит второй части определения раскраски. В каждом пересечении будет максимум 2 цвета, так что при раскраске мы нарушим требование иметь 1 или 3 цвета в каждом пересечении, либо нарушим требование иметь более 1 цвета.
Зацепление Хопфа не раскрашиваемо в три цвета<ref>См. [[:en:tricolorability]].</ref>. Это непосредственно следует из факта, что зацепление можно раскрасить лишь в два цвета, что противоречит второй части определения раскраски. В каждом пересечении будет максимум 2 цвета, так что при раскраске мы нарушим требование иметь 1 или 3 цвета в каждом пересечении, либо нарушим требование иметь более 1 цвета.

Версия от 02:32, 15 апреля 2016

Зацепление Хопфа
Обозначение= L2a1
Число нитей = 2
Длина косы= 2
Число пересечений= 2
Коэффициент зацепления= 1
Гиперболический объём= 0
Класс= тор
Скейн-соотношение для зацепления Хопфа.

Зацепление Хопфа — простейшее нетривиальное зацепление с двумя и более компонентами [1], состоит из двух окружностей, зацеплённых однократно[2] и названо по имени Хайнца Хопфа[3].

Геометрическое представление

Конкретная модель состоит из двух единичных окружностей в перпендикулярных плоскостях, таких что каждая проходит через центр другой [2]. Эта модель минимизирует длину верёвки[англ.] (длина верёвки — инвариант теории узлов) зацепления и до 2002 года зацепление Хопфа являлось единственным, у которого длина верёвки была известна [4]. Выпуклая оболочка этих двух окружностей образует тело, называемое олоидом?![5].

Свойства

В зависимости от относительной ориентации[англ.] двух компонент коэффициент зацепления Хопфа равен ±1.[6].

Зацепления Хопфа является (2,2)-торическим зацеплением[7] с описывающим словом[8] .

Дополнение?! зацепления Хопфа — , цилиндр над тором[9]. Это пространство имеет локально евклидову геометрию, так что зацепление Хопфа не является гиперболическим. Группа узлов зацепления Хопфа (фундаментальная группа его дополнения) — это (свободная абелева группа на двух генераторах) и она отличает зацепление Хопфа от двух незацеплённых окружностей, которым соответствует свободная группа на двух генераторах[10].

Зацепление Хопфа не раскрашиваемо в три цвета[11]. Это непосредственно следует из факта, что зацепление можно раскрасить лишь в два цвета, что противоречит второй части определения раскраски. В каждом пересечении будет максимум 2 цвета, так что при раскраске мы нарушим требование иметь 1 или 3 цвета в каждом пересечении, либо нарушим требование иметь более 1 цвета.

Расслоение Хопфа

Расслоение Хопфа — это непрерывное отображение из 3-сферы (трёхмерная поверхность в четырёхмерном евклидовом пространстве) в более привычную 2-сферу, такое что прообраз каждой точки на 2-сфере является окружностью. Таким образом получается разложение 3-сферы на непрерывное семейство окружностей и каждые две различных окружности из этого семейства образуют зацепление Хопфа. Этот факт и побудил Хопфа заняться изучением зацеплений Хопфа — поскольку любые два слоя зацеплены, расслоение Хопфа является нетривиальным расслоением[англ.]. С этого началось изучение гомотопических групп сфер?![12].

История

Герб Бузан-ха[англ.]

Зацепление названо именем тополога Хайнца Хопфа, исследовавшего его в 1931 году в работе по расслоению Хопфа[13]. Однако такое зацепление использовал ещё Гаусс[3], а вне математики оно встречалось задолго до этого, например, в качестве герба японской буддийской секты Бузан-ха[англ.], основанной в XVI столетии.

См. также

  • Катенаны, химические соединения с двумя механически сцеплёнными молекулами
  • Узел Соломона, два кольца с двойным зацеплением

Примечания

  1. ↑ Adams, 2004, с. 151.
  2. ↑ 1 2 Kusner, Sullivan, 1998, с. 67–78.
  3. ↑ 1 2 Прасолов, Сосинский, 1997, с. 12.
  4. ↑ Cantarella, Kusner, Sullivan, 2002, с. 257–286.
  5. ↑ Dirnböck, Stachel, 1997, с. 105–118.
  6. ↑ Adams, 2004.
  7. ↑ Kauffman, 1987, с. 373.
  8. ↑ Adams, 2004, с. 133, Exercise 5.22.
  9. ↑ Turaev, 2010, с. 194.
  10. ↑ Hatcher, 2002, с. 24.
  11. ↑ См. en:tricolorability.
  12. ↑ Shastri, 2013, с. 368.
  13. ↑ Hopf, 1931, с. 637–665.

Литература

  • Colin Conrad Adams. The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. — American Mathematical Society, 2004. — ISBN 9780821836781.
  • Louis H. Kauffman. On Knots. — Princeton University Press, 1987. — Т. 115. — (Annals of Mathematics Studies). — ISBN 9780691084350.
  • Vladimir G. Turaev. Quantum Invariants of Knots and 3-manifolds. — Walter de Gruyter, 2010. — Т. 18. — (De Gruyter studies in mathematics). — ISBN 9783110221831.
  • Anant R. Shastri. Basic Algebraic Topology. — CRC Press, 2013. — ISBN 9781466562431.
  • Robert B. Kusner, John M. Sullivan. Topology and geometry in polymer science (Minneapolis, MN, 1996). — New York: Springer, 1998. — Т. 103. — (IMA Vol. Math. Appl.). — doi:10.1007/978-1-4612-1712-1_7.
  • Jason Cantarella, Robert B. Kusner, John M. Sullivan. On the minimum ropelength of knots and links // Inventiones Mathematicae. — 2002. — Т. 150, вып. 2. — doi:10.1007/s00222-002-0234-y. — arXiv:math/0103224.
  • Hans Dirnböck, Hellmuth Stachel. The development of the oloid // Journal for Geometry and Graphics. — 1997. — Т. 1, вып. 2.
  • Allen Hatcher. Algebraic Topology. — 2002. — ISBN 9787302105886.
  • Heinz Hopf. Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche // Mathematische Annalen. — Berlin: Springer, 1931. — Т. 104, вып. 1. — doi:10.1007/BF01457962.
  • В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия. — М.: МЦНМО, 1997. — ISBN 5-900916-10-3.

Ссылки

Источник — https://ru.wikipedia.org/ruwiki/w/index.php?title=Зацепление_Хопфа&oldid=77786880