Теория Янга — Миллса

Тео́рия Я́нга — Ми́ллса — калибровочная теория с неабелевой калибровочной группой. Калибровочные поля в этой теории называются полями Янга — Миллса. Такие теории были предложены в 1954 году Чж. Янгом и Р. Миллсом, однако некоторое время рассматривались лишь как математические изыски, не имеющие отношения к реальности. Несмотря на это, именно на основе теорий Янга — Миллса в 1960—1970-х годах были созданы две краеугольные теории Стандартной модели в физике элементарных частиц: квантовая хромодинамика (теория сильных взаимодействий) на основе группы SU(3) и теория электрослабых взаимодействий на основе группы SU(2).

Характерные свойства теорий Янга — Миллса

• Неабелевость группы означает, что поля-переносчики взаимодействий Янга — Миллса могут взаимодействовать сами с собой и друг с другом. Это влечёт за собой то, что уравнения, описывающие эволюцию полей Янга — Миллса, являются нелинейными (в противоположность линейным уравнениям Максвелла, отвечающим абелевой теории). Можно также сказать, что для полей Янга — Миллса не выполняется принцип суперпозиции.
• Кванты полей Янга — Миллса являются векторными частицами (то есть бозонами со спином 1) и обладают нулевой массой. Однако с помощью механизма спонтанного нарушения симметрии физические поля Янга — Миллса могут приобретать ненулевую массу.
• Нелинейность уравнений Янга — Миллса делает их очень сложными для решения. В режиме малой константы связи эти уравнения удается решить приближенно в виде ряда теории возмущений, однако как решить эти уравнения в режиме сильной связи, пока неизвестно. Неизвестно также, как именно эта нелинейность приводит к наблюдаемому в нашем мире конфайнменту в сильных взаимодействиях. Проблема решения уравнений Янга — Миллса в общем случае является одной из семи математических «Проблем тысячелетия», за решение любой из которых Математический институт Клэя присудит премию в 1 миллион долларов США.

Математика

Теории Янга — Миллса — специальный пример калибровочной теории поля с неабелевой группой калибровочной симметрии. Лагранжиан свободного поля Янга — Миллса таких теорий имеет определённый вид

$\ {\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} }=-{\frac {1}{4}}\operatorname {Tr} (F^{2})=-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu a}F_{\mu \nu }^{a},$

где F — 2-форма напряжённости поля Янга — Миллса, остающаяся инвариантной при воздействии на тензор-потенциал $A_{\mu }^{a}$ калибровочной группы:

$\ F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c},$

где под $\partial _{\mu }$ понимается ковариантная производная в пространстве-времени, в пространстве Минковского в галилеевых координатах сводящаяся к обычной частной производной.

Порождающие алгебры Ли калибровочной группы $T^{a}$ удовлетворяют соотношению

$\ [T^{a},T^{b}]=if^{abc}T^{c},$

где $f^{abc}$ называются структурными константами группы.

Ковариантные (иногда называемые удлинёнными) производные полей, взаимодействующих через поля Янга — Миллса данной теории, определены как

$\ D_{\mu }=I\partial _{\mu }-igT^{a}A_{\mu }^{a}$

где $I$ — единичный оператор, а $g$ — это константа взаимодействия. В четырёхмерном пространстве-времени константа взаимодействия $g$ — это безразмерная величина. Для SU(N) групп $a,b,c=1\ldots N^{2}-1.$

Вышеприведённое определение $F_{\mu \nu }^{a}$ может быть получено, исходя из коммутатора

$\ [D_{\mu },D_{\nu }]=-igT^{a}F_{\mu \nu }^{a}.$

Само поле Янга — Миллса оказывается при этом самодействующим, а получающиеся уравнения движения

$\partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+gf^{abc}A^{\mu b}F_{\mu \nu }^{c}=0.$

называются полулинейными. В случае малой константы связи $g<1$ в данной теории применима теория возмущений.

Отметим, что переход между «верхним» («контравариантным») и «нижним» («ковариантным») векторными или тензорными компонентами тривиальны для групповых латинских индексов (например, $\,f^{abc}=f_{abc}$, в групповом пространстве введена евклидова метрика), но нетривиальны для пространственно-временных греческих индексов, которые жонглируются метрикой пространства-времени, в простейшем случае — обычной метрикой Лоренца $\eta _{\mu \nu }={\rm {diag}}\,(+---)$.

С введением $F_{\mu \nu }=T^{a}F_{\mu \nu }^{a}$, уравнения движения можно переписать так

$\,(D^{\mu }F_{\mu \nu })^{a}=0.\!$

Так как F — 2-форма, то выполняется тождество Бьянки

$\ (D_{\mu }F_{\nu \kappa })^{a}+(D_{\kappa }F_{\mu \nu })^{a}+(D_{\nu }F_{\kappa \mu })^{a}=0.$

Источник $J_{\mu }^{a}$ входит в уравнения движения как

$\partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+gf^{abc}A^{\mu b}F_{\mu \nu }^{c}=-J_{\nu }^{a}.$

Обратите внимание, что токи тоже должны правильно меняться при калибровочных преобразованиях.

Приведем здесь некоторые комментарии по поводу физической размерности константы связи. Отметим, что в D измерениях пространства-времени поле масштабируется как $[A]=[L^{\frac {2-D}{2}}]$ и, таким образом, взаимодействие должно иметь размерность $\,[g^{2}]=[L^{D-4}]$. Это означает, что теории Янга — Миллса не перенормируемы для размерностей пространства-времени больше, чем четыре (см. также Антропный принцип). Кроме того, отметим, что для $D=4$ константа связи безразмерна, а поле и квадрат константы взаимодействия имеют одинаковые размерности с полем и константой взаимодействия теории скалярного безмассового поля с самодействием $\phi ^{4}$. Таким образом, эти теории имеют одинаковую масштабную инвариантность на классическом уровне.

См. также

• Открытые математические проблемы

Литература

• Янг, Ч., Миллс Р. Сохранение изотопического спина и изотопическая калибровочная инвариантность // Элементарные частицы и компенсирующие поля / под ред. Д. Иваненко. — М.: Мир, 1964. — С. 28—38.
• Славнов, А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. — М. : Наука, 1978. — С. 240.

Ссылки

• Физическую «проблему тысячелетия» посчитали неразрешимой