Липшицево отображение

Липшицево отображение — отображение $f:X\to Y$ между метрическими пространствами $X$ и $Y$ удовлетворяющее условию

$|f(x)f(y)|_{Y}\leq L|xy|_{X}$

Для некоторой вещественной константы $L$ и всех $x,y\in X$. Здесь $|**|_{X}$ обозначает метрику в пространстве $X$. Это условие часто называют условием Липшица.

Связанные определения

• Отображение, удовлетворяющее вышеприведённому условию, называется также L-липшицевым.
  • 1-Липшецево отображение называют также коротким отображением
• Нижняя грань чисел $L$ удовлетворяющих вышеприведённому неравенству назывется константой Липшица отображения $f$.
• Отображение $f:X\to Y$ называется билипшицевым, если у него есть обратное $f^{-1}:Y\to X$ и оба $f$ и $f^{-1}$ являются липшицевыми
• Отображение $f:X\to Y$ называется колипшицевым, существует константа $L$, такая, что для любых $x\in X$ и $y\in Y$ найдётся $x'\in f^{-1}(y)$ такое, что

  $|f(x)\,y|_{Y}\leq L|xx'|_{X}$

Свойства

• Любое отображение Липшица равномерно непрерывно.

Вариации и обобщения

• Понятие липшицевой функции естественным образом обобщается на функции с ограниченным модулем непрерывности, т.к. условие Липшица записывается так: $\omega (f,\delta )\leq L\delta$.

История

Отображения с со свойством

$|f(x)-f(y)|\leq L|x-y|^{\alpha },\ \alpha \leq 1$

впервые рассматривалось Липшицем в 1864 для вещественных функций, в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье к своей функции. В последствии условием Липшица стало принято называть это условие только при $\alpha =1$, а при $\alpha <1$ условием Гёльдера.