Зацепление Хопфа

Зацепление Хопфа
Обозначение= L2a1
Число нитей = 2
Длина косы= 2
Число пересечений= 2
Коэффициент зацепления= 1
Гиперболический объём= 0
Класс= тор

Скейн-соотношение для зацепления Хопфа.

Зацепление Хопфа — простейшее нетривиальное зацепление с двумя и более компонентами , состоит из двух окружностей, зацеплённых однократно и названо по имени Хайнца Хопфа.

Геометрическое представление

Конкретная модель состоит из двух единичных окружностей в перпендикулярных плоскостях, таких что каждая проходит через центр другой. Эта модель минимизирует длину верёвки (длина верёвки — инвариант теории узлов) зацепления и до 2002 года зацепление Хопфа являлось единственным, у которого длина верёвки была известна . Выпуклая оболочка этих двух окружностей образует тело, называемое олоидом.

Свойства

В зависимости от относительной ориентации двух компонент коэффициент зацепления Хопфа равен ±1.

Зацепления Хопфа является (2,2)-торическим зацеплением с описывающим словом $\sigma _{1}^{2}$.

Дополнение зацепления Хопфа — $\mathbb {R} \times S^{1}\times S^{1}$, цилиндр над тором. Это пространство имеет локально евклидову геометрию, так что зацепление Хопфа не является гиперболическим. Группа узлов зацепления Хопфа (фундаментальная группа его дополнения) — это $\mathbb {Z} ^{2}$ (свободная абелева группа на двух генераторах) и она отличает зацепление Хопфа от двух незацеплённых окружностей, которым соответствует свободная группа на двух генераторах.

Зацепление Хопфа не раскрашиваемо в три цвета. Это непосредственно следует из факта, что зацепление можно раскрасить лишь в два цвета, что противоречит второй части определения раскраски. В каждом пересечении будет максимум 2 цвета, так что при раскраске мы нарушим требование иметь 1 или 3 цвета в каждом пересечении, либо нарушим требование иметь более 1 цвета.

Расслоение Хопфа

Расслоение Хопфа — это непрерывное отображение из 3-сферы (трёхмерная поверхность в четырёхмерном евклидовом пространстве) в более привычную 2-сферу, такое, что прообраз каждой точки на 2-сфере является окружностью. Таким образом получается разложение 3-сферы на непрерывное семейство окружностей и каждые две различных окружности из этого семейства образуют зацепление Хопфа. Этот факт и побудил Хопфа заняться изучением зацеплений Хопфа — поскольку любые два слоя зацеплены, расслоение Хопфа является нетривиальным расслоением. С этого началось изучение гомотопических групп сфер.

История

Герб Бузан-ха

Зацепление названо именем тополога Хайнца Хопфа, исследовавшего его в 1931 году в работе по расслоению Хопфа. Однако такое зацепление использовал ещё Гаусс, а вне математики оно встречалось задолго до этого, например, в качестве герба японской буддийской секты Бузан-ха, основанной в XVI столетии.

См. также

• Катенаны, химические соединения с двумя механически сцеплёнными молекулами
• Узел Соломона, два кольца с двойным зацеплением

Литература

• Прасолов В. В., Сосинский А. Б. . Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия. — М.: МЦНМО, 1997. — ISBN 5-900916-10-3.
• Adams, Colin Conrad. . The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. — American Mathematical Society, 2004. — ISBN 9780821836781.
• Cantarella J., Kusner R. B., Sullivan J. M.  On the minimum ropelength of knots and links // Inventiones Mathematicae. — 2002. — Vol. 150, no. 2. — doi:10.1007/s00222-002-0234-y. — arXiv:math/0103224.
• Dirnböck H., Stachel H.  The development of the oloid // Journal for Geometry and Graphics. — 1997. — Vol. 1, no. 2.
• Hatcher, Allen. . Algebraic Topology. — 2002. — ISBN 9787302105886.
• Hopf, Heinz.  Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche // Mathematische Annalen. — Berlin: Springer, 1931. — doi:10.1007/BF01457962.
• Kauffman, Louis H. . On Knots. — Princeton University Press, 1987. — Vol. 115. — (Annals of Mathematics Studies). — ISBN 9780691084350.
• Kusner R. B., Sullivan J. M. . Topology and geometry in polymer science (Minneapolis, MN, 1996). — New York: Springer, 1998. — Vol. 103. — (IMA Vol. Math. Appl.). — doi:10.1007/978-1-4612-1712-1_7.
• Shastri, Anant R. . Basic Algebraic Topology. — CRC Press, 2013. — ISBN 9781466562431.
• Turaev, Vladimir G. . Quantum Invariants of Knots and 3-manifolds. — Walter de Gruyter, 2010. — Vol. 18. — (De Gruyter studies in mathematics). — ISBN 9783110221831.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Hopf Link (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Hopf link, The Knot Atlas