Неравенство Маркова

Нера́венство Ма́ркова в теории вероятностей даёт оценку вероятности, что случайная величина превзойдёт по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её математического ожидания. Хотя получаемая оценка обычно груба, она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно явным образом.

Формулировка

Пусть неотрицательная случайная величина $X:\Omega \to \mathbb {R} ^{+}$ определена на вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$, и её математическое ожидание $\mathbb {E} X$ конечно. Тогда

$\mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} X}{a}}$,

где $a>0$.

Если в неравенство подставить вместо случайной величины $X$ случайную величину $(X-\mathbb {E} X)^{2}$, то получим неравенство Чебышёва:

$\mathbb {P} (|X-\mathbb {E} (X)|\geq a)\leq {\frac {{\textrm {Var}}(X)}{a^{2}}}.$

И наоборот, представив неотрицательную случайную величину $X$ в виде квадрата другой случайной величины $X=Y^{2}$, такой что $\mathbb {E} Y=0$, из неравенства Чебышева для $Y$ получим неравенство Маркова для $X$. Подходящая случайная величина $Y$ определяется так: $\mathbb {P} (Y<-{\sqrt {a}})=\mathbb {P} (Y>{\sqrt {a}})=\mathbb {P} (X>a)/2$, $\mathbb {P} (Y=0)=\mathbb {P} (X=0)$.

Примеры

1. Пусть $X\geqslant 0$ — неотрицательная случайная величина. Тогда, взяв $a=2\mathbb {E} X$, получаем

$\mathbb {P} (X\geqslant 2\mathbb {E} X)\leqslant {\frac {1}{2}}$.

2. Пусть в среднем ученики опаздывают на 3 минуты, и нас интересует, какова вероятность того, что ученик опоздает на 15 и более минут. Чтобы получить грубую оценку сверху, можно воспользоваться неравенством Маркова:

$\mathbb {P} (|X|\geqslant 15)\leqslant 3/15=0.2$.

Вывод

Пусть неотрицательная случайная величина $X$ имеет плотность распределения $p(x)$, тогда для $a>0$

$\mathbb {E} X=\int _{0}^{\infty }xp(x)dx\leqslant \int _{a}^{\infty }xp(x)dx\leqslant \int _{a}^{\infty }ap(x)dx=a\mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)$.

Следствия

Если $\phi (x)$ произвольная положительная неубывающая функция, то

$\mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)=\mathbb {P} \left(\phi (X)\geqslant \phi (a)\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} \left[\phi (X)\right]}{\phi (a)}}$.

В частности при $\phi (x)=e^{xt}$, для любых $t\geqslant 0$

$\mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} \left[e^{Xt}\right]}{e^{at}}}={\frac {M_{X}(t)}{e^{at}}}$,

где $M_{X}(t)$ - производящая функция моментов.

См. также

• Неравенство Чебышёва;
• Марков, Андрей Андреевич (старший).

Ссылки

• Видеолекция о случайных величинах, неравенствах Маркова и Чебышёва