Эпиморфизм

Эпиморфи́зм в категории ― морфизм $m:A\to B$, такой что из всякого равенства $f\circ m=h\circ m$ следует $f=h$ (другими словами, на $m$ можно сокращать справа).

Эпиморфизмы представляют собой категорный аналог понятия сюръективной функции, но это не одно и то же. Двойственным к понятию эпиморфизм является понятие мономорфизма.

Примеры

Каждый морфизм в конкретной категории, которому соответствует сюръективная функция, является эпиморфизмом. Во многих категориях обратное тоже верно. Например, это верно в категориях множеств, групп, абелевых групп, векторных пространств, правых модулей и топологических пространств. Однако, например, в категории колец вложение Z → Q — несюръективный эпиморфизм. Чтобы доказать, что он является эпиморфизмом, достаточно заметить, что любой гомоморфизм из Q определяется своими значениями на целых числах (точнее, образом единицы). Аналогичным образом показывается, что естественный гомоморфизм из кольца в одну из его локализаций является эпиморфизмом.

Свойства

Любой морфизм, имеющий обратный справа, является эпиморфизмом. Действительно, если существует морфизм j : Y → X, такой что fj = id_Y, то легко проверить, что f — эпиморфизм, домножив на j справа. Композиция двух эпиморфизмов — снова эпиморфизм. Если композиция fg двух морфизмов — эпиморфизм, то f должен быть эпиморфизмом.

Как и многие концепции в теории категорий, эпиморфность сохраняется при эквивалентности категорий, f является эпиморфизмом в одной категории тогда и только тогда, когда он является эпиморфизмом в другой.

Определение эпиморфизма можно переформулировать таким способом: f : X → Y — эпиморфизм тогда и только тогда, когда индуцированное отображение

${\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y,Z)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X,Z)\\g&\mapsto &gf\end{matrix}}$

инъективно для всех Z.

См. также

• мономорфизм
• подобъект

Литература

• С. Мак Лейн Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004 [1998].
• Bergman, George M. (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions, Harry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1.