Стационарность

Стационарность - cвойство вероятностного процесса оставаться неизменным во времени.

Пусть (Ω, F, P)– вероятностное пространство и ξ = (ξ1, ξ2, ...) – некоторая последовательность случайных величин, или случайная последовательность.Обозначим через θkξ последовательность (ξk+1, ξk+2, ...). Случайная последовательность ξ называется стационарной (в узком смысле), если для ∀k ≥ 1 распределение вероятностей θkξ и ξ: P ((ξ1, ξ2, ...) ∈ B) = P ((ξk+1, ξk+2, ...) ∈ B), B ∈ B(R∞), г де B(R∞) - борелевская σ-алгебра.

Стационарность случайного процесса означает неизменность во времени его вероятностных закономерностей, при этом обычно рассматривается два вида стационарности: стационарность в узком смысле, когда конечномерные распределения инвариантны относительно сдвига времени, и стационарность в широком смысле, когда от времени не зависят лишь математические ожидания. Практическое применение стационарности основывается на том, что для стационарного процесса характеристики любой случайной выборки и генеральной совокупности совпадают.

Формально условие стационарности случайного процесса в узком смысле можно записать так: F(x1,t1;x2,t2;...;xn,tn)=F(x1+h,t1;x2+h,t2;...;xn+h,tn) или, что то же самое f(x1,t1;x2,t2;...;xn,tn)=f(x1+h,t1;x2+h,t2;...;xn+h,tn). Стационарность в широком смысле означает: 1) mx(t)=const для всех t; 2)Kx(t,s)=Kx(s-t), т.е. ковариационная функция случайного процесса зависит только от разности s и t.

На практике чаще используют предположение о стационарности в широком смысле.