Формула трубки

Кривая и её трубчатая окрестность.

Формула трубки или формула Вейля — выражение для объёма $r$-окрестности подмногообразия как многочлен от $r$. Предложена Германом Вейлем.

Формулировка

Пусть $M$ замкнутое $m$-мерное подмногообразие в $n$-мерном евклидовом пространстве, соответственно $k=n-m$ есть коразмерность $M$.

Обозначим через $M_{r}$ $r$-окрестность $M$. Тогда для всех достаточно малых положительных значений $r$ выполняется равенство

$V(M_{r})=\omega _{k}r^{k}\cdot \sum _{m\geq 2\cdot i\geq 0}V_{i}(M)\cdot {\frac {r^{2\cdot i}}{k\cdot (k+2)\cdots (k+2\cdot i)}},$

где $V(M_{r})$ — объём $M_{r}$ и

$V_{i}(M)=\int \limits _{M}p_{i}(\mathrm {Rm} )$

для некоторого однородного многочлена $p_{i}$ степени $i$; здесь $\mathrm {Rm}$ обозначает тензор кривизны.

Выражение $p_{i}(\mathrm {Rm} )$ — это так называемая кривизна Липшица — Киллинга, она пропоциональна среднему пфафиану тензора кривизны по всем $(2\cdot i)$-мерным подпространствам касательного пространства.

Замечания

• Младший ненулевой коэффициент можно выразить как

  $V_{0}=\omega _{n-m}\cdot V(M),$

где $V(M)$ — $m$-мерный объём $M$ и $\omega _{n-m}$ — объём единичного шара в $(n-m)$-мерном евклидовом пространстве;

• Если размерность $M$ чётна, $m=2\cdot k$, то

  $V_{k}=\omega _{n}\cdot \chi (M),$

где $\chi (M),$ — эйлерова характеристика $M$, $\omega _{n}$ — объём единичного шара в $n$-мерном евклидовом пространстве.

Следствия

• Для гладких замкнутой поверхности $M$ в 3-мерном евклидовом пространстве выполняется равенство

  $V(M_{r})=S(M)\cdot r+{\tfrac {2}{3}}\cdot \pi \cdot \chi (M)\cdot r^{3}.$

• Если два подмногообразия евкидова пространства изометричны, то объёмы их $r$-окрестностей совпадают для всех малых положительных $r$.

Вариации и обобщения

• Формула полутрубки для гиперповерхностей выражает объём односторонней $r$-окрестности $M_{r}^{+}$, она также является многочленом от $r$, но не все коэффициенты зависят от внутренней кривизны. В частности для поверхностей в трёхмерном пространстве формула полутрубки принимает вид

  $V(M_{r}^{+})=S(M)\cdot r+{\biggl [}\int \limits _{M}H{\biggr ]}\cdot r^{2}+{\tfrac {2}{3}}\cdot \pi \cdot \chi (M)\cdot r^{3},$

где $H$ обозначает среднюю кривизну.

Смотри также

• Обобщённая формула Гаусса — Бонне
• Смешанный объём
• Трубчатая окрестность

Литература

• Hermann Weyl. On the Volume of Tubes (англ.) // American Journal of Mathematics. — 1939. — Vol. 61, no. 2. — P. 461—472.
• Intrinsic Volumes and Weyl’s Tube Formula