Гипотеза Крамера

Гипотеза Крамера — теоретико-числовая гипотеза, сформулированная шведским математиком Крамером в 1936 году, утверждающая, что

$p_{n+1}-p_{n}=O(\ln ^{2}p_{n}),\$

где $p_{n}$ обозначает n-е простое число, а O — это O большое. Грубо говоря, это означает, что пробелы между последовательными простыми всегда маленькие. Также гипотезой Крамера называют чуть более сильное утверждение:

$\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\log p_{n})^{2}}}=1.$

Гиротеза Крамера пока не доказана и не опровергнута.

Эвристическое обоснование

Гипотеза Крамера основывается на вероятностной модели (существенно эвристической) распределения простых, в которой предполагается, что вероятность того, что натуральное число x является простым, равна примерно ${\frac {1}{\ln x}}$. Эта модель известна как Модель Крамера' простых. Крамер доказал в своей модели, что упомянутая гипотеза истинна с вероятностью 1.

Доказанные результаты о пробелах между простыми числами

Крамер также дал условное доказательство более слабого утверждения о том, что

$p_{n+1}-p_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\ln p_{n})$

предполагая истинной гипотезу Римана.

С другой стороны, E. Westzynthius доказал в 1931 году, что величина пробелов между простыми более чем логарифмическая. То есть,

$\limsup _{n\to +\infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\ln p_{n}}}=\infty .$

Гипотеза Крамера-Грэнвилля

Даниэль Шенкс предложил гипотезу об асимптотическом равенстве для наибольших пробелов между простыми, несколько более строгую, чем гипотеза Крамера.

В вероятностной модели,

$\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\ln ^{2}p_{n}}}=c,$ с $c=1.$

Но константа $c$ возможно не такая, как для простых, по теореме Майера. Эндрю Грэнвилль в 1995 году утверждал, что константа $c=2e^{-\gamma }\approx 1.1229\ldots .$, где $\gamma$ — постоянная Эйлера.

В работе М. Вольф предложил формулу для максимального расстояния $G(x)$ между последующими прямыми числами меньшими $x$ выраженную через функцию распределения простых чисел $\pi (x)$:

$G(x)\sim {\frac {x}{\pi (x)}}(2\ln(\pi (x))-\ln(x)+c_{0}),$

где $c_{0}=\ln(C_{2})=0.2778769...$, а $C_{2}=1.3203236...$ есть константа простых-близнецов.

Thomas Nicely вычислил много наибольших пробелов между простыми. Он проверил качество гипотезы Крамера, измерив отношение R логарифма простых к квадратному корню из размера пробела между простыми:

$R={\frac {\log p_{n}}{\sqrt {p_{n+1}-p_{n}}}}.$

Oн писал: «Для известных максимальных пробелов между простыми, R остается равным примерно 1,13,» что показывает, как минимум в диапазоне его вычислений, что грэнвиллево улучшение гипотезы Крамера не представляется лучшим приближением для имеющихся данных.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Cramér Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Cramér-Granville Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

См. также

• Теорема о распределении простых чисел
• Интервалы между простыми числами
• Гипотеза Лежандра и гипотеза Андрики — более слабые, но пока тоже не доказанные верхние оценки величины пробелов между простыми