Кватернионы Гурвица

Для термина «Гурвиц» см. также другие значения.

В математике кватернионом Гурвица (или целым числом Гурвица) называется кватернион, компоненты которого либо все целые, либо все полуцелые (половины нечетных чисел; смесь целых и полуцелых недопустима). Множество всех кватернионов Гурвица

$H=\left\{a+bi+cj+dk\in \mathbb {H} \mid a,b,c,d\in \mathbb {Z} \;{\mbox{ or }}\,a,b,c,d\in \mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\right\}.$

Можно показать, что H замкнуто относительно умножения и сложения, что делает его подкольцом кольца всех кватернионов.

Кватернион Липшица (или Целое Липшица) - это кватернион, все компоненты которого целые числа. Множество всех кватернионов Липшица

$L=\left\{a+bi+cj+dk\in \mathbb {H} \mid a,b,c,d\in \mathbb {Z} \right\}$

формирует подкольцо в кольце кватернионов Гурвица H.

Как группа, H является свободной абелевой группой с образующими {½(1+i+j+k), i, j, k}. Она, таким образом, образует решетку в R⁴. Эта решетка известна как Решетка F₄, поскольку она является корневой решеткой полупростой алгебры Ли F₄. Кватернион Липшица L образует подрешетку в H.

Группа единиц в L образует кватернионную группу Q = {±1, ±i, ±j, ±k}. Группа единиц в H не является абелевой и образует группу 24-го порядка, известную как бинарная группа тетраэдра. Эта группа включает в себя 8 элементов Q и 16 кватернионов {½(±1±i±j±k)}, где знаки берутся в любой комбинации. Кватернионная группа является нормальной подгруппой бинарной группы тетраэдра U(H). Элементы U(H), имея норму 1, образуют вершины 24-гранника, вписанного в 3-сферу.

Норма кватерниона Гурвица, заданного формулой $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$, всегда представляет собой целое число. По теореме Лагранжа любое неотрицательное целое число можно представить в виде суммы четырех (или менее) квадратов. Таким образом, любое неотрицательное целое число является нормой некоего кватерниона Липшица(или Гурвица). Целое число Гурвица является простым элементом в том и только в том случае, когда его норма - простое число.

Смотрите также

• Гауссовы целые числа
• Целые числа Эйзенштейна
• Группа Ли F₄
• Решетка E₈

Ссылки

• John Horton Conway, Derek Alan Smith (2003), On quaternions and octonions: their geometry, arithmetic, and symmetry, A K Peters Ltd., ISBN 978-1-56881-134-5