Замечательные пределы

Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения двух широко известных математических тождеств со взятием предела:

• Первый замечательный предел:

  $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.$

• Второй замечательный предел:

  $\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e.$

Первый замечательный предел

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$

Доказательство:

Рассмотрим односторонние пределы $\lim _{x\to 0+}{\frac {\sin x}{x}}$ и $\lim _{x\to 0-}{\frac {\sin x}{x}}$ и докажем, что они равны 1.

Пусть $x\in (0;{\frac {\pi }{2}})$. Отложим этот угол на единичной окружности $(R=1)$ так, чтобы его вершина совпадала с началом координат (точка O), а одна сторона совпадала с осью OX. Пусть K — точка пересечения второй стороны угла с единичной окружностью, а точка L — пересечение OK с касательной к этой окружности в точке $A=(1;0)$. Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

$S_{\triangle OKA}<S_{sectKOA}<S_{\triangle OAL}$ (1)

(где $S_{sectKOA}$ — площадь сектора $KOA$)

$S_{\triangle KOA}={\frac {1}{2}}\cdot |OA|\cdot |KH|={\frac {1}{2}}\cdot |OA|\cdot |OK|\cdot \sin x={\frac {1}{2}}\cdot 1\cdot 1\cdot \sin x={\frac {\sin x}{2}}$

$S_{sectKOA}={\frac {1}{2}}R^{2}x={\frac {x}{2}}$

$S_{\triangle OAL}={\frac {1}{2}}\cdot |OA|\cdot |LA|={\frac {\mathrm {tg} \,x}{2}}$

(из $\triangle OAL$: $|LA|=\mathrm {tg} \,x$)

Подставляя в (1), получим:

${\frac {\sin x}{2}}<{\frac {x}{2}}<{\frac {\mathrm {tg} \,x}{2}}$

Так как при $x\to 0+:\sin x>0,x>0,\mathrm {tg} \,x>0$:

${\frac {1}{\mathrm {tg} \,x}}<{\frac {1}{x}}<{\frac {1}{\sin x}}$

Умножаем на $\sin x$:

$\cos x<{\frac {\sin x}{x}}<1$

Перейдём к пределу:

$\lim _{x\to 0+}\cos x\leqslant \lim _{x\to 0+}{\frac {\sin x}{x}}\leqslant 1$

$1\leqslant \lim _{x\to 0+}{\frac {\sin x}{x}}\leqslant 1$

$\lim _{x\to 0+}{\frac {\sin x}{x}}=1$

Найдём левый односторонний предел (так как функция четна, в этом нет необходимости, достаточно доказать это для правого предела):

$\lim _{x\to 0-}{\frac {\sin x}{x}}=\left[{\begin{matrix}u=-x\\x=-u\\u\to 0+\\x\to 0-\end{matrix}}\right]=\lim _{u\to 0+}{\frac {\sin(-u)}{-u}}=\lim _{u\to 0+}{\frac {-\sin(u)}{-u}}=\lim _{u\to 0+}{\frac {\sin(u)}{u}}=1$

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия:

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\mathrm {tg} \,x}{x}}=1$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\mathrm {arcsin} \,x}{x}}=1$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\mathrm {arctg} \,x}{x}}=1$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{\frac {x^{2}}{2}}}=1$

Доказательство следствий

$\lim _{x\to 0}{\frac {\mathrm {tg} \,x}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x\cos x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}\cdot \lim _{x\to 0}{\frac {1}{\cos x}}=1\cdot 1=1$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\arcsin x}{x}}=\left[{\begin{matrix}u=\arcsin x\\x=\sin u\\u\to 0\\x\to 0\end{matrix}}\right]=\lim _{u\to 0}{\frac {u}{\sin u}}=1$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\mathrm {arctg} \,x}{x}}=\left[{\begin{matrix}u=\mathrm {arctg} \,x\\x=\mathrm {tg} \,u\\u\to 0\\x\to 0\end{matrix}}\right]=\lim _{u\to 0}{\frac {u}{\mathrm {tg} \,u}}=1$

$\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{\frac {x^{2}}{2}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cdot \sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\frac {x^{2}}{2}}}=1^{2}=1$

Второй замечательный предел

$\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e$ или $\lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{1/x}=e$

Доказательство существования второго замечательного предела:

Доказательство для натуральных значений x

$\blacktriangleleft$  Докажем вначале теорему для случая последовательности $x_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n};\ n\in \mathbb {N}$

По формуле бинома Ньютона: $(a+b)^{n}=a^{n}~+~{\frac {n}{1}}\cdot a^{n-1}\cdot b~+~{\frac {n(n-1)}{1\cdot 2}}\cdot a^{n-2}\cdot b^{2}~+~...~+~{\frac {n(n-1)(n-2)...(n-(n-1))}{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n}}\cdot b^{n};\ n\in \mathbb {N}$

Полагая $a=1;~b={\frac {1}{n}}$, получим:

$\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1~+~{\frac {n}{1}}\cdot {\frac {1}{n}}~+~{\frac {n(n-1)}{1\cdot 2}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}~+~{\frac {n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}}\cdot {\frac {1}{n^{3}}}~+~...~+~{\frac {n(n-1)(n-2)...(n-(n-1))}{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n}}\cdot {\frac {1}{n^{n}}}=$

$=1~+~1~+~{\frac {1}{1\cdot 2}}\cdot \left(1-{\frac {1}{n}}\right)~+~{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}\cdot \left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdot \left(1-{\frac {2}{n}}\right)~+~...~+~{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n}}\cdot \left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdot \left(1-{\frac {2}{n}}\right)\cdot ...\cdot \left(1-{\frac {n-1}{n}}\right)$       (1)

Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число ${\frac {1}{n}}$ убывает, поэтому величины $\left(1-{\frac {1}{n}}\right),\left(1-{\frac {2}{n}}\right),...$ возрастают. Поэтому последовательность $\{x_{n}\}=\left\{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right\};\ n\in \mathbb {N}$ — возрастающая, при этом

$\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\geq 2,n\in \mathbb {N}$      (2).

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство

$\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<1+1+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}~+~...~+~{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n}}$

Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

$\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<1+\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+...+{\frac {1}{2^{n-1}}}\right)$.

Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+...+{\frac {1}{2^{n-1}}}={\frac {1\cdot \left(1-({\frac {1}{2}})^{n}\right)}{1-{\frac {1}{2}}}}=2\cdot \left(1-{\frac {1}{2^{n}}}\right)<2$.

Поэтому $\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<1+2=3$      (3).

Итак, последовательность ограничена сверху, при этом $\forall n\in \mathbb {N}$ выполняются неравенства (2) и (3):   $2\leq \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<3$.

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность $x_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},\ n\in \mathbb {N}$ монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е. $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e$ $\blacktriangleright$

$\blacktriangleleft$   Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что $\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e;\ x\in \mathbb {R}$. Рассмотрим два случая:

1. Пусть $x\rightarrow +\infty$. Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: $n\leqslant x<n+1$, где $n=[x]$ — это целая часть x.

Отсюда следует: ${\frac {1}{n+1}}<{\frac {1}{x}}\leqslant {\frac {1}{n}}~~\Longleftrightarrow ~~1+{\frac {1}{n+1}}<1+{\frac {1}{x}}\leqslant 1+{\frac {1}{n}}$, поэтому

$\left(1+{\frac {1}{n+1}}\right)^{n}<\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}\leqslant \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}$.

Если $x\rightarrow +\infty$, то $n\rightarrow \infty$. Поэтому, согласно пределу $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e$, имеем:

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n+1}}\right)^{n}={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }(1+{\frac {1}{n+1}})^{n+1}}{\lim \limits _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n+1}}\right)}}={\frac {e}{1}}=e$

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\cdot \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)=e\cdot 1=e$.

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов $\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e$.

2. Пусть $x\to -\infty$. Сделаем подстановку $-x=t$, тогда

$\lim _{x\to -\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=\lim _{t\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{-t}=\lim _{t\to +\infty }\left({\frac {t}{t-1}}\right)^{t}=\lim _{t\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{t-1}}\right)^{t}=$

$=\lim _{t\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{t-1}}\right)^{t-1}\cdot \lim _{t\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{t-1}}\right)^{1}=e\cdot 1=e$.

Из двух этих случаев вытекает, что $\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e$ для вещественного x.    $\blacktriangleright$

Следствия

1. $\lim _{u\to 0}(1+u)^{\frac {1}{u}}=e$
2. $\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{x}=e^{k}$
3. $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1$
4. $\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1$
5. $\lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x\ln a}}=1$ для $a>0$, $a\neq 1$
6. $\lim _{x\to 0}{\frac {(1+x)^{\alpha }-1}{\alpha x}}=1$

Доказательства следствий

1. $\lim _{u\to 0}(1+u)^{\frac {1}{u}}=\left[{\begin{matrix}u=1/x\\x\to \infty \end{matrix}}\right]=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e$
2. $\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{x}=\left[{\begin{matrix}u=x/k\\x=ku\\u\to \infty \\x\to \infty \end{matrix}}\right]=\lim _{u\to \infty }\left(1+{\frac {1}{u}}\right)^{ku}=\left(\lim _{u\to \infty }\left(1+{\frac {1}{u}}\right)^{u}\right)^{k}=e^{k}$
3. $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}\ln(1+x)=\lim _{x\to 0}\ln((1+x)^{\frac {1}{x}})=\ln e=1$
4. $\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=\left[{\begin{matrix}u=e^{x}-1\\x=\ln(1+u)\\x\to 0\\u\to 0\end{matrix}}\right]=\lim _{u\to 0}{\frac {u}{\ln(1+u)}}=1$
5. $\lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x\ln a}}=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{\ln(a^{x})}-1}{x\ln a}}=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x\ln a}-1}{x\ln a}}=\left[{\begin{matrix}u=x\ln a\\u\to 0\\x\to 0\end{matrix}}\right]=\lim _{u\to 0}{\frac {e^{u}-1}{u}}=1$
6. $\lim _{x\to 0}{\frac {(1+x)^{\alpha }-1}{\alpha x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{\alpha \ln(1+x)}-1}{\alpha x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{\alpha \ln(1+x)}-1}{\alpha \ln(1+x)}}\cdot \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=$

$=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{\alpha \ln(1+x)}-1}{\alpha \ln(1+x)}}\cdot 1=\left[{\begin{matrix}u=\alpha \ln(1+x)\\x\to 0\\u\to 0\end{matrix}}\right]=\lim _{u\to 0}{\frac {e^{u}-1}{u}}=1$

Применение

Замечательные пределы и их следствия используются при раскрытии неопределённостей для нахождения других пределов.

Литература

• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа (в двух частях). — М.: Физматлит, 2005. — С. 24-25. — ISBN 5-9221-0536-1.

Ссылки

• Замечательные пределы на Wikia science Математика