Квазигруппа (математика)

Квазигруппа — магма, в которой всегда возможно деление. В отличие от группы, квазигруппа не обязана быть ассоциативной.

Определения и свойства

Квазигруппой называют пару (Q, *) из множества Q с бинарной операцией * : Q × Q → Q, удовлетворяющей следующему условию: для любых элементов a и b из Q найдутся единственные элементы x и y из Q, такие что

• a * x = b
• y * a = b

Решения этих уравнений иногда записывают так:

• x = a \ b
• y = b / a

Операции \ и / называют левым делением и правым делением.

Квазигруппу с единицей называют также лупой (от англ. loop — петля).

Если между элементами двух квазигрупп Q и R можно установить биекцию (то есть они совпадают как множества), говорят, что Q и R имеют одинаковый порядок. Если при этом существуют перестановки A, B, C, действующие на элементах этих квазигрупп, такие что

• (x, y) = [xA, yB]C

(здесь (,) и [ , ] — операции в Q и R соответственно), то такие квазигруппы называют изотопными.

Для любой квазигруппы существует лупа, которой она изотопна. Если же лупа изотопна группе, то эта лупа является группой. В более общем случае: если полугруппа изотопна лупе, то они изоморфны и обе изоморфны некоторой группе. Изотопия, в некотором смысле, эквивалентна изоморфизму групп, но существуют квазигруппы изотопные, но не изоморфные группам.

Любой латинский квадрат является таблицей умножения (таблицей Кэли) квазигруппы.

Квазигруппа называется полностью антисимметричной, если выполняются ещё два свойства:

• если для некоторых a и b из квазигруппы оказалось, что a * b = b * a, то a = b;
• если для некоторых a, b и c из квазигруппы оказалось, что ( a * b ) * c = ( a * c ) * b, то b = c.

В 2004 году М. Дамм представил примеры полностью антисимметричных квазигрупп, что явилось значительным математическим достижением XXI века.

Полностью антисимметричные квазигруппы (квазигруппы Дамма) используются в кодах, распознающих ошибку (алгоритм Дамма).

Примеры

• Любая группа является также и квазигруппой, так как a * x = b $\Leftrightarrow$ x = a⁻¹ * b, y * a = b $\Leftrightarrow$ y = b * a⁻¹.
• Целые числа ($\mathbb {Z}$) с операцией вычитания (−) являются квазигруппой.
• Ненулевые рациональные числа $\mathbb {Q}$ (или вещественные — $\mathbb {R}$) с операцией деления (÷) являются квазигруппой.
• Множество {±1, ±i, ±j, ±k} где ii = jj = kk = +1 и все остальные произведения определяются также, как в кватернионах является квазигруппой с единицей (лупой).
• Любое векторное пространство над полем вещественных чисел относительно операции x * y = (x + y) / 2 образует структуру идемпотентной, коммутативной квазигруппы.

Литература

• Белоусов В. Д. «Основы теории квазигрупп и луп» — М.: Наука, 1967. — 224с.
• Sabinin L.V. Smooth quasigroups and loops — Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. — 257p
• Сабинин Л. В. Аналитические квазигруппы и геометрия — М.: УДН, 1991. — 112с.
• Сабинин Л. В., Михеев П. О. Теория гладких луп Бола. — М.: Издательство УДН, 1985. — 81с.
• «Квазигруппы и лупы» (вып. 51). Валуцэ И. И. (ред.) и др. Сборник научных работ. Кишинёв: Штиинца, 1979. — 168с.
• Белоусов В. Д. Аналитические сети и квазигруппы — Кишинёв: Штиинца, 1971. — 168с.
• Михеев П. О., Сабинин Л. В. Гладкие квазигруппы и геометрия. Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом., Том 20. — М.: ВИНИТИ, 1988. 75-110.]
• Курош А. Г. Общая алгебра. Лекции 1969—1970 учебного года — М.: Наука, 1974. — 160с. Параграфы 5 и 6.
• Галкин В. М. Квазигруппы в сборнике статей Алгебра, топология, геометрия. Том 26, 1988 г.Итоги науки и техн. Сер. Алгебра, топол., геом. Том 26. М.: ВИНИТИ, 1988. С. 3-44.