Взаимно простые числа

Числа 4 и 9 взаимно простые, следовательно, диагональ решётки размером 4 на 9 не пересекает других точек решётки

Целые числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме ±1.

Примеры:

• 14 и 25 взаимно просты, так как у них нет общих делителей;
• 15 и 25 не взаимно просты, так как у них имеется общий делитель 5;
• 6, 8, 9 взаимно просты, так как у них нет делителей, общих для всех трёх чисел.

Наглядное представление: если на плоскости построить «лес», установив на точки с целыми координатами «деревья» нулевой толщины, то из начала координат видны только деревья, координаты которых взаимно просты, см. рисунок справа как пример видимости «дерева» с координатами (9, 4).

Обозначения

Для указания взаимной простоты чисел $m$ и $n$ используется обозначение:

$m\perp n.$

Подобно тому, как перпендикулярные прямые не имеют общего направления, так и перпендикулярные числа не имеют общих сомножителей.

Однако не все математики признают и используют это обозначение. Чаще всего используется словесная формулировка или эквивалентная запись $(a,b)=1$, что означает: «наибольший общий делитель чисел a и b равен 1».

Связанные определения

• Если в наборе чисел любые два числа взаимно просты, то такие числа называются попарно взаимно простыми. Для двух чисел понятия «взаимно простые» и «попарно взаимно простые» совпадают.

Примеры

• 8, 15 — не простые, но взаимно простые.
• 6, 8, 9 — взаимно простые (в совокупности) числа, но не попарно взаимно простые.
• 8, 15, 49 — попарно взаимно простые.

Свойства

• Числа $a$ и $b$ взаимно просты тогда и только тогда, когда выполняется одно из эквивалентных условий:
  • наибольший общий делитель $a$ и $b$ равен единице;
  • существуют целые $x$ и $y$ такие, что $ax+by=1$ (соотношение Безу).
• Любые два (различных) простых числа взаимно просты.
• Если $a$ — делитель произведения $bc$, и $a$ взаимно просто с $b$, то $a$ — делитель $c$.
• Если числа $a_{1},\ldots ,a_{n}$ — попарно взаимно простые числа, то НОК$(a_{1},\ldots ,a_{n})=|a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{n}|$. Например, НОК $(9,11)=9\cdot 11=99$.
• Вероятность того, что любые $k$ случайным образом выбранных положительных целых чисел будут взаимно просты, равна ${\dfrac {1}{\zeta (k)}}$, в том смысле, что при $N\to \infty$ вероятность того, что $k$ положительных целых чисел, меньших, чем ${\textstyle {N}}$ (и выбранных случайным образом) будут взаимно простыми, стремится к ${\dfrac {1}{\zeta (k)}}$. Здесь $\zeta (k)$ — это дзета-функция Римана.
• Дробь является несократимой тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель взаимно просты.

Обобщения

Понятия простого числа и взаимно простых чисел естественно обобщаются на произвольные коммутативные кольца, например, на кольцо многочленов или гауссовы целые числа. Обобщением понятия простого числа является «неприводимый элемент». Два элемента кольца называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме делителей единицы. При этом аналог основной теоремы арифметики выполняется не во всех, а только в факториальных кольцах.

Применение

Обычно число зубьев на звёздочках и число звеньев цепи в цепной передаче стремятся делать взаимно простыми, что обеспечивает равномерность износа: каждый зуб звёздочки будет поочерёдно работать со всеми звеньями цепи.

См. также

• Простое число
• Наибольший общий делитель
• Наименьшее общее кратное
• Неприводимый элемент
• Распределённые вычисления

Ссылки

• Как часто встречаются пары взаимно простых чисел?
• Фракталы во взаимно простых числах

Литература

• Взаимно простые числа // Большая советская энциклопедия : в 66 т. (65 т. и 1 доп.) / гл. ред. О. Ю. Шмидт. — М. : Советская энциклопедия, 1926—1947.