Фонон

Фонон
Нормальные моды колебаний в кристалле. Амплитуда колебаний была увеличена для удобства просмотра; в реальном кристалле, она обычно существенно меньше межатомного расстояния.
Состав	Квазичастица
Классификация	Фононы в одномерном кристалле с одним атомом в элементарной ячейке, Акустические фононы, Оптические фононы
Семья	Бозон
Группа	Квант (колебательного движения атомов кристалла)
Теоретически обоснована	Игорь Тамм в 1932 году
Количество типов	3
Квантовые числа
Спин	0
Медиафайлы на Викискладе

Фоно́н — квазичастица, введённая советским учёным Игорем Таммом. Фонон представляет собой квант колебательного движения атомов кристалла.

Необходимость использования квазичастиц

Концепция фонона оказалась очень плодотворной в физике твёрдого тела. В кристаллических материалах атомы активно взаимодействуют между собой, и рассматривать в них такие термодинамические явления, как колебания отдельных атомов, затруднительно — получаются огромные системы из триллионов связанных между собой линейных дифференциальных уравнений, аналитическое решение которых невозможно. Колебания атомов кристалла заменяются распространением в веществе системы звуковых волн, квантами которых и являются фононы. Фонон принадлежит к числу бозонов и описывается статистикой Бозе-Эйнштейна. Спин фонона принимает значение 0 (в единицах $\hbar$). Фононы и их взаимодействие с электронами играют фундаментальную роль в современных представлениях о физике сверхпроводников, процессах теплопроводности, процессах рассеяния в твердых телах. Модель кристалла металла можно представить как совокупность гармонически взаимодействующих осцилляторов, причем наибольший вклад в их среднюю энергию дают колебания низких частот, соответствующие упругим волнам, квантами которых и являются фононы.

Фононы в одномерном кристалле с одним атомом в элементарной ячейке

В простейшем случае одномерного кристалла, состоящего из одинаковых атомов массы $m\$, равновесные положения которых определяются вектором решетки:

$\mathbf {n} =n\mathbf {a} ,\$

где $n=1,2,...,N\$. Предположим, что поперечные и продольные смещения атомов независимы. Пусть $\xi _{n}\$ — одно из таких смещений атома, занимающего узел $n\$. В потенциальной энергии $U\$ смещений нейтральных атомов из положений равновесия можно учитывать только взаимодействия соседних атомов. Тогда потенциальная энергия будет:

$U={\frac {1}{2}}\gamma \sum _{n=1}^{N}(\xi _{n}-\xi _{n-1})^{2}\$

Кинетическая энергия выражается через скорости смещений ${\dot {\xi _{n}}}\$ с помощью функции:

$K={\frac {1}{2}}m\sum _{n=1}^{N}{\dot {\xi _{n}}}^{2}\$.

Введем циклические условия:

$\xi _{n}=\xi _{n+Na}\$.

Одномерной решетке соответствует зона Бриллюэна в $\mathbf {k} \$- пространстве с границами:

$-\pi \leq \mathbf {k} a<\pi \$.

Внутри этой зоны располагаются $N\$ неэквивалентных волновых векторов:

$\mathbf {k} ={\frac {2\pi \mu }{Na^{2}}}\mathbf {a} ,\$

где $\mu =0,\pm 1,\pm 2,...,\pm {\frac {N}{2}}\$. От смещений отдельных атомов $\xi _{n}\$ удобно перейти к новым обобщенным координатам $A_{k}\$, которые характеризуют коллективные движения атомов, соответствующие определенным значениям $\mathbf {k} \$. Для этого введем преобразование:

$\xi _{n}=N^{-1/2}\sum _{k=1}A_{k}\exp(i\mathbf {k} \mathbf {n} ).\$

Новые переменные должны удовлетворять условию:

$A_{k}=A_{-k}^{*}\$.

Таким образом, потенциальная

$U={\frac {1}{2}}m\sum _{k=1}\Omega ^{2}(\mathbf {k} )A_{k}A_{-k}\$

и кинетическая энергия

$K={\frac {1}{2}}m\sum _{k=1}{\dot {A_{k}}}{\dot {A_{-k}}}\$,

где

$m\Omega ^{2}(\mathbf {k} )=m\Omega ^{2}(\mathbf {-k} )=4\gamma \sin ^{2}{\frac {\mathbf {k} \mathbf {a} }{2}}\$

выражаются через новые коллективные переменные и их временные производные. Нас в дальнейшем будет интересовать частота фононных колебаний в виде:

$\Omega (\mathbf {k} )=\Omega (\mathbf {-k} )=2{\sqrt {\frac {\gamma }{m}}}|\sin {\frac {\mathbf {k} \mathbf {a} }{2}}|\$

Зная частоту фононов как функцию $\mathbf {k} \$, можно вычислить фазовую $V_{f}\$ и групповую $V_{g}\$ скорости соответствующих элементарных возбуждений:

$V_{f}={\frac {\Omega (\mathbf {k} )}{k}}={\frac {2}{k}}{\sqrt {\frac {\gamma }{m}}}|\sin {\frac {\mathbf {k} \mathbf {a} }{2}}|\$

$V_{g}={\frac {d\Omega (\mathbf {k} )}{dk}}=a{\sqrt {\frac {\gamma }{m}}}|\cos {\frac {\mathbf {k} \mathbf {a} }{2}}|\$

Акустические фононы

Длинноволновые возбуждения при $ka={\frac {2\pi a}{\lambda }}\ll 1\$ характеризуются величинами:

$\Omega (\mathbf {k} )=ka{\sqrt {\frac {\gamma }{m}}}=kV_{f}\$

$V_{f}=V_{g}=a{\sqrt {\frac {\gamma }{m}}}\$.

Эти возбуждения можно рассматривать как упругие волны в среде. Скорость упругих волн (скорость звука) определяется в механике выражением:

$V_{ac}={\sqrt {\frac {E}{\rho _{1D}}}}\$,

где $E\$ — модуль Юнга, а $\rho _{1D}={\frac {m}{a}}$ — одномерная плотность среды. Модуль Юнга определяет отношение силы $\gamma (\xi _{n}-\xi _{n-1})\$ к вызванной ею относительной деформации $(\xi _{n}-\xi _{n-1})/a\$. Он равен

$E=a\gamma \$.

Таким образом, акустическая скорость равна величине:

$V_{ac}=a{\sqrt {\frac {\gamma }{m}}}\$.

Следовательно, рассматриваемые в пределе $ka\ll 1\$ возбуждения совпадают с акустическими волнами в упругой среде. Поэтому эти возбуждения называются акустическими фононами.

Тепловые фононы

Тепловая энергия тела равна сумме энергий фононов (тепловых). Распределение фононов (тепловых) по состояниям при тепловом возбуждении в гармоническом приближении подчиняются статистике Больцмана.

Оптические фононы

Когда волновой вектор приближается к границе зоны Бриллюэна ($ka\to \pi \$ или $\lambda \to 2a\$), то фазовая скорость будет равна величине:

$V_{f}\to {\frac {2a}{\pi }}{\sqrt {\frac {\gamma }{m}}}\$,

а групповая скорость стремится к нулю. Эти элементарные возбуждения в твердом теле можно назвать оптическими фононами.

Акустические и оптические фононы

Дисперсионные кривые для линейной двухатомной цепочки

Акустические фононы

Акустический фонон характеризуется при малых волновых векторах линейным законом дисперсии и параллельным смещением всех атомов в элементарной ячейке. Такой закон дисперсии описывает звуковые колебания решетки (поэтому фонон и называется акустическим). Для трехмерного кристалла общей симметрии существует три ветви акустических фононов. Для кристаллов высокой симметрии эти три ветви можно разделить на две ветви поперечных волн различной поляризации и продольную волну. В центре зоны Бриллюэна (для длинноволновых колебаний) законы дисперсии для акустических фононов линейны.

$\omega _{i}=s_{i}k$,

где ω — частота колебаний, k — волновой вектор, а коэффициенты S_i — скорости распространения акустических волн в кристалле, то есть скорости звука .

Оптические фононы

Оптические фононы существуют только в кристаллах, элементарная ячейка которых содержит два и более атомов. Эти фононы характеризуются при малых волновых векторах такими колебаниями атомов, при которых центр тяжести элементарной ячейки остается неподвижным. Энергия оптических фононов обычно достаточно велика (порядка 500 см⁻¹) и слабо зависит от волнового вектора.

Наряду с электронами, акустические и оптические фононы дают вклад в теплоёмкость кристалла. Для акустических фононов при низких температурах этот вклад, согласно модели Дебая, кубически зависит от температуры.

См. также

• Звук

Литература

• Соловьев В. Г. Теория атомного ядра: Квазичастицы и фононы. — Энергоатомиздат, 1989. — 304 с. — ISBN 5-283-03914-5.
• Давыдов А. С. Теория твердого тела. М.:Наука, 1976.- 636 с.
• Feynman, Richard P. Statistical Mechanics, A Set of Lectures. — Reading, Massachusetts : The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., 1972. — ISBN Clothbound: 0-8053-2508-5, Paperbound: 0-8053-2509-3.
• Каганов М.И. "Квазичастица". Что это такое?. — Знание, 1971. — 75 с. — 12 500 экз.
• Фейнман Р. Статистическая механика. — Мир, 1975. — 407 с.