Кубический сплайн

Некоторая функция f(x) задана на отрезке $[a,b]$, разбитом на части $[x_{i-1},x_{i}]$, $a=x_{0}<x_{1}<...<x_{N}=b$. Кубическим сплайном дефекта 1 называется функция $S(x)$, которая:

• на каждом отрезке $[x_{i-1},x_{i}]$ является многочленом степени не выше третьей;
• имеет непрерывные первую и вторую производные на всём отрезке $[a,b]$;
• в точках $x_{i}$ выполняется равенство $S(x_{i})=f(x_{i})$, т. е. сплайн $S(x)$ интерполирует функцию f в точках $x_{i}$.

Для однозначного задания сплайна перечисленных условий недостаточно, для построения сплайна необходимо наложить какие-то дополнительные требования.

Естественным кубическим сплайном называется кубический сплайн, удовлетворяющий также граничным условиям вида:

$S''(a)=S''(b)=0.$

Теорема: Для любой функции $f$ и любого разбиения отрезка $[a,b]$ существует ровно один естественный сплайн S(x), удовлетворяющий перечисленным выше условиям.

Эта теорема является следствием более общей теоремы Шёнберга-Уитни об условиях существования интерполяционного сплайна.

Построение

На каждом отрезке $[x_{i-1},x_{i}]$ функция $S(x)$ есть полином третьей степени $S_{i}(x)$, коэффициенты которого надо определить. Запишем для удобства $S_{i}(x)$ в виде:

$S_{i}(x)=a_{i}+b_{i}(x-x_{i})+{c_{i} \over 2}(x-x_{i})^{2}+{d_{i} \over 6}(x-x_{i})^{3}$

тогда

$S_{i}\left(x_{i}\right)=a_{i},\quad S'_{i}(x_{i})=b_{i},\quad S''_{i}(x_{i})=c_{i}$

Условия непрерывности всех производных до второго порядка включительно записываются в виде
$S_{i}\left(x_{i-1}\right)=S_{i-1}(x_{i-1})$
$S'_{i}\left(x_{i-1}\right)=S'_{i-1}(x_{i-1})$
$S''_{i}\left(x_{i-1}\right)=S''_{i-1}(x_{i-1})$
а условия интерполяции в виде

$S_{i}\left(x_{i}\right)=f(x_{i})$

Обозначим$:\quad h_{i}=x_{i}-x_{i-1},\quad f_{i}=f(x_{i})$

Отсюда получаем формулы для вычисления коэффициентов сплайна:

$a_{i}=f\left(x_{i}\right)$

$h_{i}c_{i-1}+2(h_{i}+h_{i+1})c_{i}+h_{i+1}c_{i+1}=6\left({{f_{i+1}-f_{i}} \over {h_{i+1}}}-{{f_{i}-f_{i-1}} \over {h_{i}}}\right)$

$d_{i}={{c_{i}-c_{i-1}} \over {h_{i}}}$

$b_{i}={1 \over 2}h_{i}c_{i}-{1 \over 6}h_{i}^{2}d_{i}+{{f_{i}-f_{i-1}} \over {h_{i}}}={{f_{i}-f_{i-1}} \over {h_{i}}}+{{h_{i}(2c_{i}+c_{i-1})} \over 6}$

Если учесть, что $c_{0}=c_{n}=0$, то вычисление $c$ можно провести с помощью метода прогонки для трёхдиагональной матрицы.

Компьютерный код

Cubic Interpolation: C#-библиотека с открытым исходным кодом кубической интерполяции сплайном. Автор: Вадим А. Онучин, Valex Corp.

Литература

• Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. — М.: Мир, 2001. — ISBN 5-03-002143-4.
• Костомаров Д. П., Фаворский А. П. Вводные лекции по численным методам.
• Волков Е. А. Глава 1. Приближение функций многочленами. § 11. Сплайны // Численные методы. — Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., испр.. — М.: Наука, 1987. — С. 63-68. — 248 с.
• de Boor, Carl. A Practical Guide to Splines.. — New York: Springer-Verlag, 1978.

Ссылки

• Интерполяция кубическими сплайнами на JavaScript (рус.)