Просто приводимые группы

Группа G называется просто приводимой, или SR-группой (от англ. simply reducible), если она обладает следующими свойствами: каждый элемент группы G сопряжён со своим обратным и в разложении тензорного произведения любых двух неприводимых представлений группы G каждое неприводимое представление входит не более одного раза. Этот класс групп был введён лауреатом нобелевской премии по физике Юджином Вигнером в связи с задачами на собственные функции уравнения Шрёдингера квантовой механики. Данный класс конечных групп исследовался слабо, что объясняется, вероятно, нетрадиционностью способа его задания.

Основные свойства

Класс SR-групп замкнут относительно операций факторизации и прямого произведения. Между тем, подгруппа SR-группы может не быть SR-группой.

Для конечной группы свойство простой приводимости эквивалентно обращению в равенство следующего неравенства, справедливого для всех конечных групп:

$\sum _{g\in G}|{\sqrt {g}}|^{3}\leq \sum _{g\in G}|C_{G}(g)|^{2}$

Центр конечной SR-группы либо тривиален, либо является элементарной абелевой 2-группой.

Примеры

Среди непрерывных групп SR-группами будут, например, трёхмерная группа вращений, двумерная унитарная унимодулярная группа. Среди конечных групп ими будут, например, любая группа диэдра, любая элементарная абелева 2-группа, обобщённая группа кватернионов. Очевидно, что никакая группа нечётного порядка не является SR-группой.

Литература

• Струнков С. П. О расположении характеров просто приводимых групп. Математические заметки, Москва, Т.31, № 3, 1982, с.357-362.
• Хамермеш М. Теория групп и её приложение к физическим проблемам. — М.: Мир, 1966.
• Wigner E.P. Amer. Journ. Math, 63, 57 (1941).
• Van Zanten A.J., De Vries E. Number of roots of certain equations in finite simply reducible groups. Physica, 49: 536-48 (1970).