Трилистник (узел)

Трилистник
ab-обозначение= 3₁
Обозначение Даукера= 4, 6, 2
Обозначение Конвея= [3]
Допускает раскраску в три цвета
Род=1
Число нитей = 3
Длина косы= 3
Число пересечений= 3
Гиперболический объём= 0
Класс= торический

В теории узлов трилистник — это простейший нетривиальный узел. Трилистник можно получить, соединив 2 свободных конца обычного простого узла, в результате чего получаем заузленное кольцо. Как простейший узел, трилистник является фундаментальным объектом при изучении математической теории узлов, которая имеет многообразные приложения в топологии, геометрии, физике, химии и иллюзионизме.

Описания

Трилистник можно определить как кривую, которая получается из следующих параметрических уравнений:

$x=\sin t+2\sin 2t$

$\qquad y=\cos t-2\cos 2t$

$\qquad z=-\sin 3t$

(2,3)-торический узел является трилистником. Следующие параметрические уравнения задают (2,3)-торический узел на торе $(r-2)^{2}+z^{2}=1$:

$x=(2+\cos 3t)\cos 2t$

$\qquad y=(2+\cos 3t)\sin 2t$

$\qquad z=\sin 3t$

Вид трилистника без визуальной симметрии

Любая непрерывная деформация этой кривой также считается трилистником. В частности, любая изотопная трилистнику кривая также считается трилистником. Кроме того, зеркальное отражение трилистника также считается трилистником. В топологии и теории узлов трилистник обычно задаётся с помощью диаграммы.

В алгебраической геометрии трилистник можно получить как пересечение в C² единичной 3-сферы S³ с комплексной плоской кривой нулей комплексного многочлена z² + w³ (полукубическая парабола).

Левосторонний трилистник

Правосторонний трилистник

Если один конец ленты повернуть 3 раза, а затем склеить с другим концом, получим трилистник.

Симметрия

Трилистник хирален в том смысле, что трилистник отличается от своего собственного зеркального отражения. Два варианта трилистника известны как левосторонний и правосторонний. Невозможно путём деформации левосторонний вариант непрерывным образом перевести в правосторонний или наоборот, то есть, эти два трилистника не изотопны.

Хотя трилистник хирален, он обратим, что означает, что нет разницы в каком направлении трилистник обходится — по часовой стрелке или против.

Трилистник позволяет трёхцветную раскраску.

Простой узел становится трилистником после соединения концов.

Нетривиальность

Трилистник нетривиален, что означает, что невозможно «развязать» трилистник в трёхмерном пространстве без разрезания. С математической точки зрения это означает, что трилистник не изотопен тривиальному узлу. В частности, не существует последовательности движений Рейдемейстера, с помощью которых узел развязывается.

Доказательство этого требует построения инварианта узла, который отличен от инварианта тривиального узла. Простейший такой инвариант — трёхцветная раскраска — трилистник позволяет трёхцветную раскраску, а тривиальный узел — нет. Кроме того, любой основной многочлен узла трилистника отличается от многочлена тривиального узла, как и большинство других инвариантов.

Классификация

В теории узлов трилистник является первым нетривиальным узлом и единственным узлом с числом пересечений три. Он является простым и перечислен с под номером 3₁ в нотации Александера-Бриггса. Нотация Даукера для трилистника — 4 6 2, а нотация Конвея трилистника — [3].

Трилистник можно описать как (2,3)-торический узел. Можно получить этот узел путём замыкания косы σ₁³.

Трилистник является альтернирующим узлом. Однако, он не является срезанным узлом, что означает, что он не ограничивает 2-мерный диск на 4-мерной сфере. Чтобы это показать, следует заметить, что его сигнатура ненулевая. Другое доказательство — многочлен Александера не удовлетворяет условию Фокса — Милнора.

Трилистник является расслоённым, что означает, что его дополнение в $S^{3}$ является локально тривиальным расслоением над окружностью $S^{1}$. В модели трилистника как множества пар $(z,w)$ комплексных чисел, таких что $|z|^{2}+|w|^{2}=1$ и $z^{2}+w^{3}=0$, это локально тривиальное расслоение имеет отображение Милнора $\phi (z,w)=(z^{2}+w^{3})/|z^{2}+w^{3}|$ в качестве расслоения, а тор с выколотой точкой в качестве поверхности расслоения.

Инварианты

Многочлен Александера трилистника есть

$\Delta (t)=t-1+t^{-1},$

а Многочлен Конвея —

$\nabla (z)=z^{2}+1.$

Многочлен Джонса —

$V(q)=q^{-1}+q^{-3}-q^{-4},$

а Многочлен Кауфмана трилистника —

$L(a,z)=za^{5}+z^{2}a^{4}-a^{4}+za^{3}+z^{2}a^{2}-2a^{2}.$

Группа узла трилистника задаётся представлением

$\langle x,y\mid x^{2}=y^{3}\rangle$

или эквивалентно,

$\langle x,y\mid xyx=yxy\rangle .$

Эта группа изоморфна группе кос с тремя нитями.

Трилистники в религии и культуре

В качестве простейшего нетривиального узла, трилистник является частым мотивом в иконографии и изобразительном искусстве.

• 
  Древнескандинавский подвеска мьёльнир с трилистником
• 
  Простой символ трикветр
• 
  Плотный трикветр
• 
  Немецкий Валкнут
• 
  Металлический Валкнут в виде трилистника
• 
  Трилистник, используемый в Лого aTV
• 
  Математическая поверхность, которые являются границами трилистника под разными углами.
• 
  Математическая поверхность, которые являются границами трилистника под разными углами.

См. также

• Кружевное зацепление
• Узел «Лапчатка»
• Восьмёрка (теория узлов)
• Узел (топология)
• Бесконечный узел
• Трикветр
• Гордиев узел

Литература

• George Russell Shaw. Knots: Useful & Ornamental. — 1933. — ISBN 978-0-517-46000-9.

Ссылки

• Wolframalpha: (2,3)-torus knot