На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё две не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, — физическая, а не математическая). Из оставшихся пяти проблем две <!-- в англовики № 15 значится частично решённой --> не решены никак, а три решены только для некоторых случаев. Спустя ровно сто лет после оглашения списка Гильберта американский математик [[Смейл, Стивен|Стивен Смейл]] предложил [[Проблемы Смейла|новый список]] современных нерешённых проблем (часть из них уже решены). [[Задачи тысячелетия|Свой список]] обнародовал [[Математический институт Клэя]].
На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё две не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, — физическая, а не математическая). Из оставшихся пяти проблем две <!-- в англовики № 15 значится частично решённой --> не решены никак, а три решены только для некоторых случаев. Спустя ровно сто лет после оглашения списка Гильберта американский математик [[Смейл, Стивен|Стивен Смейл]] предложил [[Проблемы Смейла|новый список]] современных нерешённых проблем (часть из них уже решены). [[Задачи тысячелетия|Свой список]] обнародовал [[Математический институт Клэя]].
== Список проблем ==
{| class="wikitable sortable"
! №
! Статус
! Краткая формулировка
! Результат
! Год решения
|-
|bgcolor="#DDFFCC"|[[Первая проблема Гильберта|1]]
|bgcolor="#DDFFCC"|'''решена'''<ref>{{anchor|Сноска: 1-я проблема}}Результаты Гёделя и Коэна (Cohen) показывают, что ни континуум-гипотеза, ни её отрицание не противоречат [[Система Цермело — Френкеля|системе аксиом Цермело — Френкеля]] (стандартной системе аксиом теории множеств). Таким образом, континуум-гипотезу в этой системе аксиом невозможно ни доказать, ни опровергнуть (при условии, что эта система аксиом непротиворечива).</ref>
|Проблема Кантора о мощности континуума ([[Континуум-гипотеза]])
|'''Неразрешима в [[Система Цермело — Френкеля|ZFC]]'''
|1963
|-
|bgcolor="#FFE2B6"|[[Вторая проблема Гильберта|2]]
|bgcolor="#FFE2B6"|'''нет консенсуса'''<ref>[[Гёдель, Курт|Курт Гёдель]] [[Теорема Гёделя о неполноте|доказал]], что непротиворечивость аксиом арифметики нельзя доказать, исходя из самих аксиом арифметики. В 1936 году [[Генцен, Герхард|Герхард Генцен]] доказал непротиворечивость арифметики, используя примитивно рекурсивную арифметику с дополнительной аксиомой для [[Трансфинитная индукция|трансфинитной индукции]] до [[Порядковое число|ординала]] ε<sub>0</sub>.</ref>
|bgcolor="#FFE2B6"|[[Четвёртая проблема Гильберта|4]]
|bgcolor="#FFE2B6"|'''слишком расплывчатая'''
|Перечислить [[метрический тензор|метрики]], в которых прямые являются [[геодезическая|геодезическими]]{{Уточнить}}
|'''Требует уточнения формулировки'''<ref>Согласно Рову (Rowe) и Грею (Gray) (см. далее), большинство проблем были решены. Некоторые из них не были достаточно точно сформулированы, однако достигнутые результаты позволяют рассматривать их как «решённые». Ров и Грей говорят о четвёртой проблеме как о такой, которая слишком нечётко поставлена, чтобы судить о том, решена она или нет.</ref>
|
|-
|bgcolor="#DDFFCC"|[[пятая проблема Гильберта|5]]
|bgcolor="#DDFFCC"|'''решена'''
|Все ли непрерывные [[группа (математика)|группы]] являются [[группа Ли|группами Ли]]?
|'''Да'''
|1953
|-
|bgcolor="#FFFFB2"|[[Шестая проблема Гильберта|6]]
|bgcolor="#FFFFB2"|'''частично решена'''<ref>L. Corry, David Hilbert and the axiomatization of physics (1894—1905), [[Archive for History of Exact Sciences]] 51 (1997), no. 2, 83-198, DOI: http://doi.org/10.1007/BF00375141.</ref>
|Математическое исследование аксиом физики
|'''Зависит от интерпретации исходной постановки проблемы'''<ref>Более того, решение проблемы о получении динамики континуума из атомистического описания может быть отрицательным: Marshall Slemrod, Hilbert’s sixth problem and the failure of the Boltzmann to Euler limit, Phil. Trans. R. Soc. A 2018 376 (2118), 2018, 20170222, {{DOI|10.1098/rsta.2017.0222}}</ref>
|
|-
|bgcolor="#DDFFCC"|[[Седьмая проблема Гильберта|7]]
|bgcolor="#DDFFCC"|'''решена'''
|Является ли число <math>2^{\sqrt{2}}</math> [[Трансцендентное число|трансцендентным]] (или хотя бы [[Иррациональное число|иррациональным]])<ref>Решена Зигелем и Гельфондом (и независимо Шнайдером) в более общем виде: если ''a'' ≠ 0, 1 — [[алгебраическое число]], и ''b'' — алгебраическое иррациональное, то ''a<sup>b</sup>'' — [[трансцендентное число]]</ref></td>
|'''Да'''
|1934
|-
|bgcolor="#FFFFB2"|[[восьмая проблема Гильберта|8]]
|bgcolor="#FFFFB2"|'''частично решена'''<ref>Проблема № 8 содержит две известные проблемы, первая из которых не решена, а вторая решена частично. Первая из них, [[гипотеза Римана]], является одной из семи [[Задачи тысячелетия|Проблем тысячелетия]], которые были обозначены как «Проблемы Гильберта» 21-го века.</ref>
|Проблема простых чисел ([[гипотеза Римана]] и [[проблема Гольдбаха]])
|'''Доказана тернарная гипотеза Гольдбаха'''<ref>[https://plus.google.com/114134834346472219368/posts/8qpSYNZFbzC Terence Tao — Google+ — Busy day in analytic number theory; Harald Helfgott has…<!-- Заголовок добавлен ботом -->]</ref><ref>[http://arxiv.org/abs/1305.2897 Major arcs for Goldbach’s theorem], H. A. Helfgott // arxiv 1305.2897</ref><ref>[http://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/2013/05/15/goldbach-variations/ Goldbach Variations] // SciAm blogs, Evelyn Lamb, May 15, 2013</ref><ref>[http://www.sciencemag.org/content/340/6135/913.summary Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory] // Science 24 May 2013: Vol. 340 no. 6135 p. 913 [[doi:10.1126/science.340.6135.913]]</ref>.
|
|-
|bgcolor="#FFFFB2"|[[Девятая проблема Гильберта|9]]
|bgcolor="#FFFFB2"|'''частично решена'''<ref>Проблема № 9 была решена для абелевого случая; неабелев случай остаётся нерешённым.</ref>
|Доказательство наиболее общего [[Квадратичный закон взаимности|закона взаимности]] в любом числовом поле
|'''Доказана для абелевого случая'''
|
|-
|bgcolor="#DDFFCC"|[[Десятая проблема Гильберта|10]]
|bgcolor="#DDFFCC"|'''решена'''<ref>[[Матиясевич, Юрий Владимирович|Юрий Матиясевич]] в 1970 году доказал алгоритмическую неразрешимость вопроса о том, имеет ли произвольное диофантово уравнение хотя бы одно решение. Изначально проблема была сформулирована Гильбертом не в качестве дилеммы, а в качестве поиска алгоритма: в то время, видимо, даже не задумывались о том, что может существовать отрицательное решение подобных проблем.</ref>
|Есть ли универсальный алгоритм решения [[диофантово уравнение|диофантовых уравнений]]?
|'''Нет'''
|1970
|-
|bgcolor="#FFFFB2"|[[Одиннадцатая проблема Гильберта|11]]
|bgcolor="#FFFFB2"|'''частично решена'''
|Исследование [[Квадратичная форма|квадратичных форм]] с произвольными алгебраическими числовыми коэффициентами
|
|
|-
|bgcolor="#FFB2B2"|[[Двенадцатая проблема Гильберта|12]]
|bgcolor="#FFB2B2"|'''не решена'''
|Распространение [[Теорема Кронекера — Вебера|теоремы Кронекера об абелевых полях]] на произвольную алгебраическую область рациональности
|
|
|-
|bgcolor="#DDFFCC"|[[Тринадцатая проблема Гильберта|13]]
|bgcolor="#DDFFCC"|'''решена'''
|Можно ли решить общее уравнение седьмой степени с помощью функций, зависящих только от двух переменных?
|'''Да'''
|1957
|-
|bgcolor="#DDFFCC"|[[Четырнадцатая проблема Гильберта|14]]
|bgcolor="#DDFFCC"|'''решена'''
|Доказательство конечной порождённости алгебры инвариантов линейной алгебраической группы<ref>Утверждение о конечной порождённости алгебры инвариантов доказано для произвольных действий [[редуктивная группа|редуктивных групп]] на аффинных алгебраических многообразиях. Нагата в 1958 году построил пример линейного действия унипотентной группы на 32-мерном векторном пространстве, для которого алгебра инвариантов не является конечно порождённой. В. Л. Попов доказал, что если алгебра инвариантов любого действия алгебраической группы G на аффинном алгебраическом многообразии конечно порождена, то группа G редуктивна.</ref>
|'''Опровергнута'''
|1959
|-
|bgcolor="#FFFFB2"|[[Пятнадцатая проблема Гильберта|15]]
|bgcolor="#FFFFB2"|[[Шестнадцатая проблема Гильберта|16]]
|bgcolor="#FFFFB2"|'''частично решена'''<ref>Первая (алгебраическая) часть проблемы № 16 более точно формулируется так. Харнаком доказано, что максимальное число овалов равно M=(n-1)(n-2)/2+1, и что такие кривые существуют — их называют M-кривыми. Как могут быть расположены овалы M-кривой? Эта задача сделана до степени n=6 включительно, а для степени n=8 довольно много известно (хотя её ещё не добили). Кроме того, есть общие утверждения, ограничивающие то, как овалы M-кривых могут быть расположены — см. работы Гудкова, Арнольда, Роона, самого Гильберта (впрочем, стоит учитывать, что в доказательстве Гильберта для n=6 есть ошибка: один из случаев, считаемый им невозможным, оказался возможным и был построен Гудковым). Вторая (дифференциальная) часть остаётся открытой даже для квадратичных векторных полей — неизвестно даже, сколько их может быть, и что оценка сверху существует. Даже индивидуальная теорема конечности (то, что у каждого полиномиального векторного поля имеется конечное число предельных циклов) была доказана только недавно. Она считалась доказанной [[Дюлак, Анри|Дюлаком]], но в его доказательстве была обнаружена ошибка, и окончательно эта теорема была доказана [[Ильяшенко, Юлий Сергеевич|Ильяшенко]] и Экалем, для чего каждому из них пришлось написать по книге.</ref>
|Топология алгебраических кривых и поверхностей<ref>Приведён перевод исходного названия проблемы, данного Гильбертом: [http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html «16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flächen»]{{ref-de}}. Однако, более точно её содержание (как оно рассматривается сегодня) можно было бы передать следующим названием: «Число и расположение овалов вещественной алгебраической кривой данной степени на плоскости; число и расположение предельных циклов полиномиального векторного поля данной степени на плоскости». Вероятно (как можно увидеть из [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html#prob16 английского перевода текста анонса]{{ref-en}}), Гильберт считал, что дифференциальная часть (в реальности оказавшаяся значительно труднее алгебраической) будет поддаваться решению теми же методами, что и алгебраическая, и потому не включил её в название.</ref>
|
|
|-
|bgcolor="#DDFFCC"|[[Семнадцатая проблема Гильберта|17]]
|bgcolor="#DDFFCC"|'''решена'''
|Представимы ли определённые формы в виде суммы квадратов
|'''Да'''
|1927
|-
|bgcolor="#DDFFCC"|[[Восемнадцатая проблема Гильберта|18]]
|bgcolor="#DDFFCC"|'''решена'''<ref>Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297—336; 1912, 72, S. 400—412.</ref><ref>Ров и Грей также называют проблему № 18 «открытой» в своей книге за 2000 год, потому что задача упаковки шаров (известная также как задача Кеплера) не была решена к тому времени, однако на сегодняшний день есть сведения о том, что она уже решена (см. далее). Продвижения в решении проблемы № 16 были сделаны в недавнее время, а также в 1990-х.</ref>
|
* Конечно ли число [[кристаллографическая группа|кристаллографических групп]]? (a)
* Существуют ли нерегулярные заполнения пространства конгруэнтными многогранниками? (a)
* Являются ли гексагональная и кубическая гранецентрированная [[Плотная упаковка равных сфер|упаковки шаров]] наиболее плотными? (b)
|
* '''Да'''
* '''Да'''
* '''Да'''
| 1928 (a)<br />1998 (b)
|-
|bgcolor="#DDFFCC"|[[Девятнадцатая проблема Гильберта|19]]
|bgcolor="#DDFFCC"|'''решена'''
|Всегда ли решения регулярной вариационной [[Лагранжиан|задачи Лагранжа]] являются аналитическими?
|'''Да'''
|1957
|-
|bgcolor="#DDFFCC"|[[двадцатая проблема Гильберта|20]]
|bgcolor="#DDFFCC"|'''решена'''
|Все ли вариационные задачи с определёнными граничными условиями имеют решения?
|'''Да'''
|?
|-
|bgcolor="#DDFFCC"|[[Двадцать первая проблема Гильберта|21]]
|bgcolor="#DDFFCC"|'''решена'''
|Доказательство существования [[Линейное дифференциальное уравнение|линейных дифференциальных уравнений]] с заданной группой монодромии
|'''Существуют или нет, зависит от более точных формулировок задачи'''
|1992
|-
|bgcolor="#FFFFB2"|[[Двадцать вторая проблема Гильберта|22]]
|bgcolor="#FFFFB2"|'''частично решена'''
|Униформизация аналитических зависимостей с помощью [[Автоморфная функция|автоморфных функций]]
|
|
|-
|bgcolor="#FFE2B6"|[[Двадцать третья проблема Гильберта|23]]
|bgcolor="#FFE2B6"|'''слишком расплывчатая'''
|Развитие методов [[Вариационное исчисление|вариационного исчисления]]
|'''Требует уточнения формулировки'''
|
|}
== 24-я проблема ==
: ''Основная статья: {{не переведено 4|24-я проблема Гильберта|||Hilbert's 24th problem}}''
Изначально список содержал 24 проблемы, но в процессе подготовки к докладу Гильберт отказался от одной из них. Эта проблема была связана с теорией доказательств критерия простоты и общих методов. Данная проблема была обнаружена в заметках Гильберта немецким историком науки [[Тиле, Рюдигер|Рюдигером Тиле]] в 2000 году<ref>[http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Thiele1-24.pdf ''Hilbert’s twenty-fourth problem'']. Rüdiger Thiele, American Mathematical Monthly, January 2003.</ref>.
== См. также ==
* [[Задачи тысячелетия]]
* [[Открытые математические проблемы]]
* [[Проблемы Смейла]]
== Примечания ==
{{примечания}}
== Литература ==
* {{публикация|автор=Болибрух А. А.|заглавие=Проблемы Гильберта (100 лет спустя)|серия=[[Математическое просвещение#Библиотека «Математическое просвещение»|Библиотека «Математическое просвещение»]]|год=1999|издательство=[[Московский центр непрерывного математического образования|МЦНМО]]|том=2|страниц=24|ссылка=http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=2}}
* {{публикация|автор=Демидов С. С.|часть=К истории проблем Гильберта|заглавие=[[Историко-математические исследования]]|номер=17|издательство=Наука|место=М.|год=1966|страницы=91—122}}
* {{публикация|автор=Демидов С. С.|часть=«Математические проблемы» Гильберта и математика XX века|заглавие=Историко-математические исследования |номер=41 (6)|место=М.|издательство=Янус-К|год=2001|страницы=84—99}}
* {{публикация|автор=Ляшко С. И., Номировский Д. А., Петунин Ю. И., Семёнов В. В.|заглавие=Двадцатая проблема Гильберта|подзаголовок=Обобщённые решения операторных уравнений|ссылка=http://shtonda.blogspot.com/2009/01/twentieth-problem-hilbert.html|место=М.|издательство=Диалектика|год=2009|страниц=192|isbn=978-5-8459-1524-5}}
* {{публикация|заглавие=Проблемы Гильберта|ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/gilprob.htm|вид=сб.|ответственный=под ред. [[Александров, Павел Сергеевич|П. С. Александрова]]|место=М.|издательство=Наука|год=1969|страниц=240}}
== Ссылки ==
* [http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html Оригинальный текст на немецком доклада Гильберта]
* [http://vivovoco.astronet.ru/VV/PAPERS/NATURE/GILBERT_R.HTM Русский перевод доклада Гильберта] (вводная часть и заключение)
На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё две не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, — физическая, а не математическая). Из оставшихся пяти проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев. Спустя ровно сто лет после оглашения списка Гильберта американский математик Стивен Смейл предложил новый список современных нерешённых проблем (часть из них уже решены). Свой список обнародовал Математический институт Клэя.
Изначально список содержал 24 проблемы, но в процессе подготовки к докладу Гильберт отказался от одной из них. Эта проблема была связана с теорией доказательств критерия простоты и общих методов. Данная проблема была обнаружена в заметках Гильберта немецким историком науки Рюдигером Тиле в 2000 году[19].
↑Результаты Гёделя и Коэна (Cohen) показывают, что ни континуум-гипотеза, ни её отрицание не противоречат системе аксиом Цермело — Френкеля (стандартной системе аксиом теории множеств). Таким образом, континуум-гипотезу в этой системе аксиом невозможно ни доказать, ни опровергнуть (при условии, что эта система аксиом непротиворечива).
↑Курт Гёдельдоказал, что непротиворечивость аксиом арифметики нельзя доказать, исходя из самих аксиом арифметики. В 1936 году Герхард Генцен доказал непротиворечивость арифметики, используя примитивно рекурсивную арифметику с дополнительной аксиомой для трансфинитной индукции до ординала ε0.
↑Согласно Рову (Rowe) и Грею (Gray) (см. далее), большинство проблем были решены. Некоторые из них не были достаточно точно сформулированы, однако достигнутые результаты позволяют рассматривать их как «решённые». Ров и Грей говорят о четвёртой проблеме как о такой, которая слишком нечётко поставлена, чтобы судить о том, решена она или нет.
↑Более того, решение проблемы о получении динамики континуума из атомистического описания может быть отрицательным: Marshall Slemrod, Hilbert’s sixth problem and the failure of the Boltzmann to Euler limit, Phil. Trans. R. Soc. A 2018 376 (2118), 2018, 20170222, doi:10.1098/rsta.2017.0222
↑Решена Зигелем и Гельфондом (и независимо Шнайдером) в более общем виде: если a ≠ 0, 1 — алгебраическое число, и b — алгебраическое иррациональное, то ab — трансцендентное число
↑Проблема № 8 содержит две известные проблемы, первая из которых не решена, а вторая решена частично. Первая из них, гипотеза Римана, является одной из семи Проблем тысячелетия, которые были обозначены как «Проблемы Гильберта» 21-го века.
↑Проблема № 9 была решена для абелевого случая; неабелев случай остаётся нерешённым.
↑Юрий Матиясевич в 1970 году доказал алгоритмическую неразрешимость вопроса о том, имеет ли произвольное диофантово уравнение хотя бы одно решение. Изначально проблема была сформулирована Гильбертом не в качестве дилеммы, а в качестве поиска алгоритма: в то время, видимо, даже не задумывались о том, что может существовать отрицательное решение подобных проблем.
↑Утверждение о конечной порождённости алгебры инвариантов доказано для произвольных действий редуктивных групп на аффинных алгебраических многообразиях. Нагата в 1958 году построил пример линейного действия унипотентной группы на 32-мерном векторном пространстве, для которого алгебра инвариантов не является конечно порождённой. В. Л. Попов доказал, что если алгебра инвариантов любого действия алгебраической группы G на аффинном алгебраическом многообразии конечно порождена, то группа G редуктивна.
↑Первая (алгебраическая) часть проблемы № 16 более точно формулируется так. Харнаком доказано, что максимальное число овалов равно M=(n-1)(n-2)/2+1, и что такие кривые существуют — их называют M-кривыми. Как могут быть расположены овалы M-кривой? Эта задача сделана до степени n=6 включительно, а для степени n=8 довольно много известно (хотя её ещё не добили). Кроме того, есть общие утверждения, ограничивающие то, как овалы M-кривых могут быть расположены — см. работы Гудкова, Арнольда, Роона, самого Гильберта (впрочем, стоит учитывать, что в доказательстве Гильберта для n=6 есть ошибка: один из случаев, считаемый им невозможным, оказался возможным и был построен Гудковым). Вторая (дифференциальная) часть остаётся открытой даже для квадратичных векторных полей — неизвестно даже, сколько их может быть, и что оценка сверху существует. Даже индивидуальная теорема конечности (то, что у каждого полиномиального векторного поля имеется конечное число предельных циклов) была доказана только недавно. Она считалась доказанной Дюлаком, но в его доказательстве была обнаружена ошибка, и окончательно эта теорема была доказана Ильяшенко и Экалем, для чего каждому из них пришлось написать по книге.
↑Приведён перевод исходного названия проблемы, данного Гильбертом: «16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flächen» (нем.). Однако, более точно её содержание (как оно рассматривается сегодня) можно было бы передать следующим названием: «Число и расположение овалов вещественной алгебраической кривой данной степени на плоскости; число и расположение предельных циклов полиномиального векторного поля данной степени на плоскости». Вероятно (как можно увидеть из английского перевода текста анонса (англ.)), Гильберт считал, что дифференциальная часть (в реальности оказавшаяся значительно труднее алгебраической) будет поддаваться решению теми же методами, что и алгебраическая, и потому не включил её в название.
↑Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297—336; 1912, 72, S. 400—412.
↑Ров и Грей также называют проблему № 18 «открытой» в своей книге за 2000 год, потому что задача упаковки шаров (известная также как задача Кеплера) не была решена к тому времени, однако на сегодняшний день есть сведения о том, что она уже решена (см. далее). Продвижения в решении проблемы № 16 были сделаны в недавнее время, а также в 1990-х.
Демидов С. С. «Математические проблемы» Гильберта и математика XX века // Историко-математические исследования. — М. : Янус-К, 2001. — № 41 (6). — С. 84—99.
