Участник:Священный бритый ёжик/Проблемы Гильберта: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Метки: с мобильного устройства через мобильное приложение через приложение для Android
Метки: с мобильного устройства через мобильное приложение через приложение для Android
Строка 13: Строка 13:
|-
|-
||[[Первая проблема Гильберта|1]]
||[[Первая проблема Гильберта|1]]
||'''не решена'''
||'''решена'''
|Проблема Кантора о мощности континуума ([[Континуум-гипотеза]])
|Проблема Кантора о мощности континуума ([[Континуум-гипотеза]])
|'''Неразрешима в [[Система Цермело — Френкеля|ZFC]]'''
|'''Неразрешима в [[Система Цермело — Френкеля|ZFC]]'''

Версия от 22:09, 28 ноября 2018

Давид Гильберт в 1900-е годы. Портрет для обложки тематического выпуска ‘Hilbert's sixth problem', Phil. Trans. R. Soc. A 2018, 376 (2118). doi:10.1098/rsta/376/2118. Художник Анна Горбань

Пробле́мы Ги́льберта — список из 23 кардинальных проблем математики, представленный Давидом Гильбертом на II Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Тогда эти проблемы (охватывающие основания математики, алгебру, теорию чисел, геометрию, топологию, алгебраическую геометрию, группы Ли, вещественный и комплексный анализ, дифференциальные уравнения, математическую физику и теорию вероятностей, а также вариационное исчисление) не были решены.

На данный момент решены 7 проблем из 23. Ещё две не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, — физическая, а не математическая). Из оставшихся четырнадцати проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев.

Список проблем

Статус Краткая формулировка Результат Год решения
1 решена Проблема Кантора о мощности континуума (Континуум-гипотеза) Неразрешима в ZFC 1963
2 нет консенсуса[1] Непротиворечивость аксиом арифметики. Требует уточнения формулировки
3 решена Равносоставленность равновеликих многогранников Опровергнута 1900
4 слишком расплывчатая Перечислить метрики, в которых прямые являются геодезическими[уточнить] Требует уточнения формулировки[2]
5 решена Все ли непрерывные группы являются группами Ли? Да 1953
6 частично решена[3] Математическое исследование аксиом физики Зависит от интерпретации исходной постановки проблемы[4]
7 решена Является ли число трансцендентным (или хотя бы иррациональным)[5] Да 1934
8 частично решена[6] Проблема простых чисел (гипотеза Римана и проблема Гольдбаха) Доказана тернарная гипотеза Гольдбаха[7][8][9][10].
9 частично решена[11] Доказательство наиболее общего закона взаимности в любом числовом поле Доказана для абелевого случая
10 решена[12] Есть ли универсальный алгоритм решения диофантовых уравнений? Нет 1970
11 частично решена Исследование квадратичных форм с произвольными алгебраическими числовыми коэффициентами
12 не решена Распространение теоремы Кронекера об абелевых полях на произвольную алгебраическую область рациональности
13 решена Можно ли решить общее уравнение седьмой степени с помощью функций, зависящих только от двух переменных? Да 1957
14 решена Доказательство конечной порождённости алгебры инвариантов линейной алгебраической группы[13] Опровергнута 1959
15 частично решена Строгое обоснование исчислительной геометрии Шуберта
16 частично решена[14] Топология алгебраических кривых и поверхностей[15]
17 решена Представимы ли определённые формы в виде суммы квадратов Да 1927
18 решена[16][17]
  • Конечно ли число кристаллографических групп? (a)
  • Существуют ли нерегулярные заполнения пространства конгруэнтными многогранниками? (a)
  • Являются ли гексагональная и кубическая гранецентрированная упаковки шаров наиболее плотными? (b)
  • Да
  • Да
  • Да
1928 (a)
1998 (b)
19 решена Всегда ли решения регулярной вариационной задачи Лагранжа являются аналитическими? Да 1957
20 решена Все ли вариационные задачи с определёнными граничными условиями имеют решения? Да ?
21 решена Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений с заданной группой монодромии Существуют или нет, зависит от более точных формулировок задачи 1992
22 частично решена Униформизация аналитических зависимостей с помощью автоморфных функций
23 слишком расплывчатая Развитие методов вариационного исчисления Требует уточнения формулировки

См. также

Примечания

  1. Курт Гёдель доказал, что непротиворечивость аксиом арифметики нельзя доказать, исходя из самих аксиом арифметики. В 1936 году Герхард Генцен доказал непротиворечивость арифметики, используя примитивно рекурсивную арифметику с дополнительной аксиомой для трансфинитной индукции до ординала ε0.
  2. Согласно Рову (Rowe) и Грею (Gray) (см. далее), большинство проблем были решены. Некоторые из них не были достаточно точно сформулированы, однако достигнутые результаты позволяют рассматривать их как «решённые». Ров и Грей говорят о четвёртой проблеме как о такой, которая слишком нечётко поставлена, чтобы судить о том, решена она или нет.
  3. L. Corry, David Hilbert and the axiomatization of physics (1894—1905), Archive for History of Exact Sciences 51 (1997), no. 2, 83-198, DOI: http://doi.org/10.1007/BF00375141.
  4. Более того, решение проблемы о получении динамики континуума из атомистического описания может быть отрицательным: Marshall Slemrod, Hilbert’s sixth problem and the failure of the Boltzmann to Euler limit, Phil. Trans. R. Soc. A 2018 376 (2118), 2018, 20170222, doi:10.1098/rsta.2017.0222
  5. Решена Зигелем и Гельфондом (и независимо Шнайдером) в более общем виде: если a ≠ 0, 1 — алгебраическое число, и b — алгебраическое иррациональное, то ab — трансцендентное число
  6. Проблема № 8 содержит две известные проблемы, первая из которых не решена, а вторая решена частично. Первая из них, гипотеза Римана, является одной из семи Проблем тысячелетия, которые были обозначены как «Проблемы Гильберта» 21-го века.
  7. Terence Tao — Google+ — Busy day in analytic number theory; Harald Helfgott has…
  8. Major arcs for Goldbach’s theorem, H. A. Helfgott // arxiv 1305.2897
  9. Goldbach Variations // SciAm blogs, Evelyn Lamb, May 15, 2013
  10. Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory // Science 24 May 2013: Vol. 340 no. 6135 p. 913 doi:10.1126/science.340.6135.913
  11. Проблема № 9 была решена для абелевого случая; неабелев случай остаётся нерешённым.
  12. Юрий Матиясевич в 1970 году доказал алгоритмическую неразрешимость вопроса о том, имеет ли произвольное диофантово уравнение хотя бы одно решение. Изначально проблема была сформулирована Гильбертом не в качестве дилеммы, а в качестве поиска алгоритма: в то время, видимо, даже не задумывались о том, что может существовать отрицательное решение подобных проблем.
  13. Утверждение о конечной порождённости алгебры инвариантов доказано для произвольных действий редуктивных групп на аффинных алгебраических многообразиях. Нагата в 1958 году построил пример линейного действия унипотентной группы на 32-мерном векторном пространстве, для которого алгебра инвариантов не является конечно порождённой. В. Л. Попов доказал, что если алгебра инвариантов любого действия алгебраической группы G на аффинном алгебраическом многообразии конечно порождена, то группа G редуктивна.
  14. Первая (алгебраическая) часть проблемы № 16 более точно формулируется так. Харнаком доказано, что максимальное число овалов равно M=(n-1)(n-2)/2+1, и что такие кривые существуют — их называют M-кривыми. Как могут быть расположены овалы M-кривой? Эта задача сделана до степени n=6 включительно, а для степени n=8 довольно много известно (хотя её ещё не добили). Кроме того, есть общие утверждения, ограничивающие то, как овалы M-кривых могут быть расположены — см. работы Гудкова, Арнольда, Роона, самого Гильберта (впрочем, стоит учитывать, что в доказательстве Гильберта для n=6 есть ошибка: один из случаев, считаемый им невозможным, оказался возможным и был построен Гудковым). Вторая (дифференциальная) часть остаётся открытой даже для квадратичных векторных полей — неизвестно даже, сколько их может быть, и что оценка сверху существует. Даже индивидуальная теорема конечности (то, что у каждого полиномиального векторного поля имеется конечное число предельных циклов) была доказана только недавно. Она считалась доказанной Дюлаком, но в его доказательстве была обнаружена ошибка, и окончательно эта теорема была доказана Ильяшенко и Экалем, для чего каждому из них пришлось написать по книге.
  15. Приведён перевод исходного названия проблемы, данного Гильбертом: «16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flächen» (нем.). Однако, более точно её содержание (как оно рассматривается сегодня) можно было бы передать следующим названием: «Число и расположение овалов вещественной алгебраической кривой данной степени на плоскости; число и расположение предельных циклов полиномиального векторного поля данной степени на плоскости». Вероятно (как можно увидеть из английского перевода текста анонса (англ.)), Гильберт считал, что дифференциальная часть (в реальности оказавшаяся значительно труднее алгебраической) будет поддаваться решению теми же методами, что и алгебраическая, и потому не включил её в название.
  16. Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297—336; 1912, 72, S. 400—412.
  17. Ров и Грей также называют проблему № 18 «открытой» в своей книге за 2000 год, потому что задача упаковки шаров (известная также как задача Кеплера) не была решена к тому времени, однако на сегодняшний день есть сведения о том, что она уже решена (см. далее). Продвижения в решении проблемы № 16 были сделаны в недавнее время, а также в 1990-х.

Литература

Ссылки