Матрица Якоби

Матрица Я́ко́би описывает поведение первого порядка отображения $\mathbf {u} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$.

Определение

Пусть задано отображение $\mathbf {u} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ $\mathbf {u} =(u_{1},u_{2},...,u_{m})$, $u_{i}=u_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),i=1,2,\ldots ,m$, имеющих в некоторой точке $x$ все частные производные первого порядка. Матрица $J$, составленная из частных производных этих функций в точке $x$, называется матрицей Якоби данной системы функций.

$J(x)={\begin{pmatrix}{\partial u_{1} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{1} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{1} \over \partial x_{n}}(x)\\{\partial u_{2} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{2} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{2} \over \partial x_{n}}(x)\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\partial u_{m} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{m} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{m} \over \partial x_{n}}(x)\end{pmatrix}}$

Связанные определения

Если $m=n$, то определитель $|J|$ матрицы Якоби называется определителем Якоби, или якобиа́ном, системы функций $u_{1},\ldots ,u_{n}$.

Свойства

• Если все $u_{i}$ непрерывно дифференцируемы в окрестности $x_{0}$, то

  $\mathbf {u} (x)=\mathbf {u} (x_{0})+J(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0}).$

См. также

• Дифференциал