Возвратное уравнение

Возвратное уравнение — алгебраическое уравнение вида: $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=0$ c равными друг другу коэффициентами, стоящими на симметричных относительно середины позициях, то есть если $a_{n-k}=a_{k}$, при $k=0,1,...,n$. Иногда такие уравнения называют симметричными или симметрическими. Многочлены в левой части возвратного уравнения называют возвратными многочленами.

Уравнение четвёртой степени

Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0$, где a, b и c — некоторые числа, причём $a\neq 0$.

Алгоритм решения подобных уравнений:

• разделить левую и правую части уравнения на $x^{2}$. При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения при $a\neq 0$;
• группировкой привести полученное уравнение к виду $a\left(x^{2}+{1 \over x^{2}}\right)+b\left(x+{1 \over x}\right)+c=0$;
• ввести новую переменную $t={x+{1 \over x}}$, тогда выполнено $t^{2}={x^{2}+2+{1 \over {x^{2}}}}$, то есть ${x^{2}+{1 \over {x^{2}}}}={t^{2}-2}$;
• в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным: $at^{2}+bt+c-2a=0$;
• решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Модифицированное и обобщённое уравнения четвёртой степени

Модифицированное возвратное уравнение четвёртой степени $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}-bx+a=0$ может быть сведено к квадратному уравнению относительно переменной $t$, если ввести $t=x-{\frac {1}{x}}$.

Обобщённое возвратное уравнение четвёртой степени сводится к квадратному уравнению подстановкой $t=bx+{\frac {d}{x}}$. Среди всех уравнений четвёртой степени $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ эти уравнения выделяются тем, что для их коэффициентов справедливо соотношение:

${\frac {e}{a}}=\left({\frac {d}{b}}\right)^{2}.$

Уравнения произвольных степеней

Для возвратных уравнений произвольных степеней верны следующие утверждения:

• Всякий возвратный многочлен чётной степени $P_{2n}(x)$ представим в виде $P_{2n}(x)=x^{n}Q(t)$, где $t=x+{\frac {1}{x}}$, а $Q(t)$ - многочлен степени $n$.

• Всякий возвратный многочлен нечётной степени $P_{2n+1}(x)$ делится без остатка на $x+1$ и частное является возвратным многочленом чётной степени $P_{2n}(x)$.

См. также

• Биквадратное уравнение
• Палиндром

Ссылки

• The Fundamental Theorem for Palindromic Polynomials (англ.) на MathPages