Метод галеры: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Интерактивная навигация по истории
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
→Преамбула: уточнение
Строка 1: Строка 1:
[[Файл:Galley division. Tartaglia.png|thumb|400px|Деление числа {{num|8888880000000888800000000888888}} (в серединне) на {{num|99999000000009990000000009999}} (под ним, последняя девятка добавлена позже). Частное: 88 (спарва), остаток: {{num|88968000000009680000000008976}} (сверху). 3, 1, 4, 6 в кресте — это остатки при делении этих чисел на 7 (для проверки). Пример взят из учебника арифметики [[Никколо Тарталья]]<ref>{{Книга |автор=[[Никколо Тарталья]] |заглавие=La prima parte del general trattato di numeri, et misure di Nicolo Tartaglia, nella quale in diecisette libri si dichiara tutti gli atti operativi, pratiche, et regole necessarie non solamente in tutta l'arte negotiaria, & mercantile, ma anchor in ogni altra arte, scientia, over disciplina, dove intervenghi il calculo: 1 |ссылка=https://books.google.com/books?id=Xk9ZAAAAcAAJ |издательство=Curtio Trojano de i Navo |год=1556 |страницы=35f |страниц=580}}</ref> 1556 года.]]
[[Файл:Galley division. Tartaglia.png|thumb|400px|Деление числа {{num|8888880000000888800000000888888}} (в серединне) на {{num|99999000000009990000000009999}} (под ним, последняя девятка добавлена позже). Частное: 88 (спарва), остаток: {{num|88968000000009680000000008976}} (сверху). 3, 1, 4, 6 в кресте — это остатки при делении этих чисел на 7 (для проверки). Пример взят из учебника арифметики [[Никколо Тарталья]]<ref>{{Книга |автор=[[Никколо Тарталья]] |заглавие=La prima parte del general trattato di numeri, et misure di Nicolo Tartaglia, nella quale in diecisette libri si dichiara tutti gli atti operativi, pratiche, et regole necessarie non solamente in tutta l'arte negotiaria, & mercantile, ma anchor in ogni altra arte, scientia, over disciplina, dove intervenghi il calculo: 1 |ссылка=https://books.google.com/books?id=Xk9ZAAAAcAAJ |издательство=Curtio Trojano de i Navo |год=1556 |страницы=35f |страниц=580}}</ref> 1556 года.]]
[[Файл:Galley Division.jpg|альт=From the book, «The Science-History of the Universe» by Francis Rolt-Wheeler, Copyright 1910, The Current Literature Publishing Company, New York. This illustration is from page 51. |мини|400px|Деление методом галеры числа {{num|965347653486}} (в центре) на {{num|6543218}} (внизу)<ref name=rolt-wheeler/>. Ответ записан справа: {{num|147534}}, а остаток сверху: {{num|529074}}. (На рисунке имеются несколько описок, совершенных художником).]]
[[Файл:Galley Division.jpg|альт=From the book, «The Science-History of the Universe» by Francis Rolt-Wheeler, Copyright 1910, The Current Literature Publishing Company, New York. This illustration is from page 51. |мини|400px|Деление методом галеры числа {{num|965347653486}} (в центре) на {{num|6543218}} (внизу). Ответ записан справа: {{num|147534}}, а остаток сверху: {{num|529074}}. Пример взят из неопубликованной рукописи венецианского монаха «Opus Arithmetica D. Honorati Veneti monachj coenobij S. Lauretig» XVI века<ref>{{Книга |автор=Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach |заглавие=A History of Mathematics |ссылка=https://books.google.com/books?id=bR9HAAAAQBAJ&pg=RA2-PT134 |издательство=John Wiley & Sons |год=2011-01-25 |страниц=680}}</ref>. (На рисунке имеются несколько описок, совершенных художником).]]
'''Метод галеры (метод зачёркивания)''' — способ [[деление (математика)|деления]], который был самым используемым в Европе примерно до 1600-х годов, и продолжал быть популярным до конца XVIII века<ref name=lay-yong/>. Своё название получил за схожесть записываемых при вычислении строк с силуэтом [[галера|одноименного судна]]<ref name=lay-yong/><ref name=rolt-wheeler/>. Метод возник на основе китайского и индийского методов.
'''Метод галеры (метод зачёркивания)''' — способ [[деление (математика)|деления]], который был самым используемым в Европе примерно до 1600-х годов, и продолжал быть популярным до конца XVIII века<ref name=lay-yong/>. Своё название получил за схожесть записываемых при вычислении строк с силуэтом [[галера|одноименного судна]]<ref name=lay-yong/><ref name=rolt-wheeler/>. Метод возник на основе китайского и индийского методов.
Метод упоминается у [[Аль-Хорезми]] в работах 825 года<ref name=lay-yong/>, у [[Пачоли, Лука|Луки Пачоли]] в 1492 году<ref name=rolt-wheeler/>.
Метод упоминается у [[Аль-Хорезми]] в работах 825 года<ref name=lay-yong/>, у [[Пачоли, Лука|Луки Пачоли]] в 1492 году<ref name=rolt-wheeler/>.

Версия от 03:53, 12 апреля 2019

Деление числа 8 888 880 000 000 889 000 000 000 000 000 (в серединне) на 99 999 000 000 010 000 000 000 000 000 (под ним, последняя девятка добавлена позже). Частное: 88 (спарва), остаток: 88 968 000 000 009 690 000 000 000 000 (сверху). 3, 1, 4, 6 в кресте — это остатки при делении этих чисел на 7 (для проверки). Пример взят из учебника арифметики Никколо Тарталья[1] 1556 года.
From the book, «The Science-History of the Universe» by Francis Rolt-Wheeler, Copyright 1910, The Current Literature Publishing Company, New York. This illustration is from page 51.
Деление методом галеры числа 965 347 653 486 (в центре) на 6 543 218 (внизу). Ответ записан справа: 147 534, а остаток сверху: 529 074. Пример взят из неопубликованной рукописи венецианского монаха «Opus Arithmetica D. Honorati Veneti monachj coenobij S. Lauretig» XVI века[2]. (На рисунке имеются несколько описок, совершенных художником).

Метод галеры (метод зачёркивания) — способ деления, который был самым используемым в Европе примерно до 1600-х годов, и продолжал быть популярным до конца XVIII века[3]. Своё название получил за схожесть записываемых при вычислении строк с силуэтом одноименного судна[3][4]. Метод возник на основе китайского и индийского методов. Метод упоминается у Аль-Хорезми в работах 825 года[3], у Луки Пачоли в 1492 году[4].

В отличие от предшествующих методов, в этом методе цифры не стирались, а зачёркивались[3]. Он похож на современный метод деления столбиком, однако в методе галеры вычитание частичных произведений проходило слева направо, а не справа налево, как в современных методах.

История

Арифметические действия с ростом разрядности чисел становятся весьма трудоемкими и чувствительными к механическим ошибкам, а деление — наиболее сложное из них. «Трудное дело — деление», гласила старинная латинская пословица[5].

Хотя в Европе деление считалось сложной операцией вплоть до XV века, в Китае и в Индии деление не считалось чем-то особенно сложным[3][6]. Метод деления упоминается в «Математике в девяти книгах» (II век н. э.) и подробно описан в Математическом трактате[англ.] Сунь Цзы (III—V век)[3]. Многие индийские труды по математике не описывают метода деления, предполагая его известным. Например, о методе деления не пишет Ариабхата (499 год), хотя несомненно метод деления был известен его читателям, так как Ариабхата описывает метод извлечение корней, который требуют деления. В индийской математике метод деления, аналогичный китайскому, впервые упомянут у Сридхари[англ.] (около 800 года). Детальное описание метода даёт Ариабхата II[англ.] (X век)[6].

Индийский метод выполнялся на песке или мелом на доске. Китайский метод использовал палочки в качестве цифр. В обоих случаях цифры легко было стирать. В этих методах делитель записывался под делимым. Как и в современном методе деления столбиком, из делимого вычитались частичные произведения (то есть произведения делителя на каждую цифру ответа, сдвинутые на соответствующее число разрядов). Однако, в отличие от современного метода, старое делимое стиралось, а разность записывалась на его место, при этом само частичное произведение не записывалось, и даже не вычислялось, а вычитание происходило поразрядно слева направо. После этого делитель смещался на один разряд вправо (эту операцию в средневековой Европе называли по-латыни anterioratio)[6][3]. В китайском (а возможно и в индийском методе) частное записывалось над делителем[3].

Этот метод стал известен арабам, начиная с трудов Аль-Хорезми (825 года)[6][3]. Оттуда этот метод попал в Европу[6]. В Европе деление выполнялось чернилами на бумаге, из-за этого метод деления претерпел естественную модификацию в связи с тем, что цифры не стирались, а зачёркивались[4][6][3]. При вычитании из делителя частичных произведений результат записывался сверху. Стало непрактично записывать частное над делимым, его стали писать справа[3]. Эта модификация стала называться методом галеры (galea, batello)[6], у англичан этот метод назывался также методом зачёркивания[7] (англ. scratch method)[6].

Знаменитый итальянский математик Никколо Тарталья (XVI век) в своем известном учебнике арифметики писал о методе следующее[5]:

Второй способ деления называется в Венеции лодкой или галерой вследствие некоторого сходства фигуры, получающейся при этом, потому что при делении некоторых родов чисел составляется фигура, похожая на лодку, а в других — на галеру, которая в самом деле красиво выглядит; галера получается иной раз хорошо отделанная и снабженная всеми принадлежностями — выкладывается из чисел так, что она действительно представляется в виде галеры с кормою и носом, мачтою, парусами и веслами.

Интересно отметить, что метод галеры с использованием чернил был привезён обратно в Китай из Европы и опубликован в трактате об Европейской арифметике[кит.] 1613 года[3].

Более современный метод («итальянский метод»[4], «золотое деление»[7]), когда результат вычитание записывается снизу, появился в печати в 1491 году в «Арифметике»[8] Каландри[итал.], хотя ещё раньше встречался в рукописях XV века[4]. В этом методе, в отличие от метода галеры, частичное произведение явно записывалось и вычитание частичного произведения производилось начиная с младших разрядов. Это было более удобно, чем начиная со старших разрядов, как в методе галеры[4]. Однако недостатком этого метода галеры было то, что в нём нужно было умножать многозначные числа на однозначные[7].

Впоследствии появился сокращённый метод деления[англ.] («австрийский метод»), который отличался от итальянского тем, что в нём не записывались частичные произведения[4].

Все эти методы конкурировали в Европе с «железным делением» (то есть делением с помощью абака)[7].

В России метод галеры употреблялся до середины XVIII века: в «Арифметике» Леонтия Магницкого он описан в числе шести предлагаемых там способов деления и особо рекомендуется автором; на протяжении изложения материала своей книги Магницкий пользуется в основном методом галеры, не упоминая при этом самого наименования[5].

Сущность метода

Метод галеры, хотя и более сложный в записи, похож на современный метод деления столбиком. Также как и при делении столбиком частное вычисляется по цифрам, начиная со старшего разряда: на каждом шаге подбирается одна цифра частного. В качестве цифры частного берётся наибольшая цифра такая, чтобы из делимого можно вычесть частичное произведение (произведение этой цифры на делитель, смещенный на соответствующее число разрядов), оставаясь в положительных числах. После этого из делимого вычитается частичное произведение, сам делитель сдвигается на один разряд влево, и процесс повторяется. В отличии от современного деления столбиком в методе галеры частичное произведение не вычисляется, а вычитание происходит по разрядам слева направо. Кроме того в методе галеры результат вычитания записывается сверху, а не снизу.

Пример

Рассмотрим пример из «Арифметики Тревизо[англ.]» (1478 года), в котором делится 65284 на 594[3]. Пример разбит на несколько шагов: на каждом шаге полужирным шрифтом выделены цифры, которые добавляются на этом шаге, а курсивом цифры, которые зачёркиваются. Для просты восприятия цифры с которыми производятся действия, выделены цветом, в действительности в методе использовались чернила только одного цвета.

Вначале делитель (594) записывался под делимым (65284):

Шаг 1: в 652 делитель 594 входит только 1 раз. Значит первая цифра частного 1. Записываем её справа, и вычитаем из делимого 1×594 (смещённое на два разряда). В метода галеры это делается слева направо: сначала вычитается первая цифра (5), потом вторая цифра (9), в конце последняя цифра (4) из соответствующих разрядов.

Шаг 2: Смещаем делитель на один разряд вправо (anterioratio). Так как полученный смещенный делитель (594) больше того, что осталось от делимого (588…), то мы не можем вычесть делитель ни разу, значит вторая цифра частного 0:

Шаг 3: Смещаем делитель ещё на один разряд вправо. Теперь нам надо из 5884 вычесть 594. Это можно сделать 9 раз. Записываем 9 в частное и вычитаем из делимого 9×594. При этом мы не вычисляем 9×594, а просто вычитаем 9×5, 9×9 и 9×4 из соответствующих разрядов.

Ответ: Полностью результат вычислений выглядит следующим образом:

Из этого виден ответ: деление 65284 на 594 даёт частное 109 и 538 в остатке.

Сравнение с другими методами

Для сравнения приведём то же самое деление, выполненное итальянским и австрийским[англ.] методами[4], в которых многие вычисления производятся в уме и не записываются.

Варианты

Иногда цифры не зачёркивались. В этом случае считались только самые верхние и нижние цифры. При этом вместо зачёркивания записывались нули сверху колонки. См. иллюстрацию в начале статьи.

Примечания

Внешние изображения
Визуальное представление метода галеры.
  1. ↑ Никколо Тарталья. La prima parte del general trattato di numeri, et misure di Nicolo Tartaglia, nella quale in diecisette libri si dichiara tutti gli atti operativi, pratiche, et regole necessarie non solamente in tutta l'arte negotiaria, & mercantile, ma anchor in ogni altra arte, scientia, over disciplina, dove intervenghi il calculo: 1. — Curtio Trojano de i Navo, 1556. — С. 35f. — 580 с.
  2. ↑ Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach. A History of Mathematics. — John Wiley & Sons, 2011-01-25. — 680 с.
  3. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Lam Lay-Yong. On the Chinese Origin of the Galley Method of Arithmetical Division (англ.) // The British Journal for the History of Science. — 1966/06. — Vol. 3, iss. 1. — P. 66–69. — doi:10.1017/S0007087400000200.
  4. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Leland Locke. Pure Mathematics // The science-history of the universe / Francis Rolt-Wheeler (managing editor). — New York: Current Literature Pub. Co.. — Vol. VIII. — 354 с. — P. 48—52.
  5. ↑ 1 2 3 Перельман Я.И. Занимательная арифметика. — Изд. 2-е. — М., 1954.
  6. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 B. Datta[англ.], A. N. Singh. Part I: Numerical Notation and Arithmetic // History of Hindu Mathematics: A Source Book[англ.]. — 1962. — С. 150.
  7. ↑ 1 2 3 4 Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика / Глав. ред. М. Д. Аксёнова. — М.: Аванта+, 1998. — С. 132—134. — ISBN 5-89501-018-0.
  8. ↑ Filippo Calandri. Aritmetica : [итал.] / Lorenzo Morgiani e Johann Petri. — 1491.
Источник — https://ru.wikipedia.org/ruwiki/w/index.php?title=Метод_галеры&oldid=99165106