Лента Мёбиуса

См. также: Лист Мёбиуса (значения)

Лента Мёбиуса

Римская мозаика III века нашей эры с изображением кольца, свернутого как лента Мёбиуса, мюнхенская Глиптотека

Ле́нта Мёбиуса (лист Мёбиуса, петля́ Мёбиуса) — топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное трёхмерное евклидово пространство $\mathbb {R} ^{3}$.

Считается, что лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году, хотя похожая структура изображена на римской мозаике III века нашей эры. Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана: для этого надо взять достаточно длинную бумажную полоску и склеить противоположные концы полоски, предварительно перевернув один из них. В трёхмерном евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые.

Эйлерова характеристика листа Мёбиуса равна нулю.

Уравнения

Параметрическое описание листа Мёбиуса

Чтобы превратить квадрат в лист Мёбиуса, соедините края, помеченные буквой A, так, чтобы направления стрелок совпали

Одним из способов представления листа Мёбиуса как подмножества $\mathbb {R} ^{3}$ является параметризация:

$x\left(u,v\right)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos u,$

$y\left(u,v\right)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin u,$

$z\left(u,v\right)={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}},$

где $0\leqslant u<2\pi$ и $-1\leqslant v\leqslant 1$. Эти формулы задают ленту Мёбиуса ширины 1, чья центральная окружность имеет радиус 1, лежит в плоскости $xy$ с центром в $\left(0,\;0,\;0\right)$. Параметр $u$ пробегает вдоль ленты, в то время как $v$ задает расстояние от края.

В цилиндрических координатах $\left(r,\;\theta ,\;z\right)$ неограниченная версия листа Мёбиуса может быть представлена уравнением

$\log r\sin {\frac {\theta }{2}}=z\cos {\frac {\theta }{2}},$

где функция логарифма имеет произвольное основание.

Свойства

• Граница листа Мёбиуса состоит из одной замкнутой кривой.
• Топологически лист Мёбиуса может быть определен как факторпространство квадрата $\left[0,\;1\right]\times \left[0,\;1\right]$ по отношению эквивалентности $\left(x,\;0\right)\sim \left(1-x,\;1\right)$ для $0\leqslant x\leqslant 1$.
• Лист Мёбиуса — это также пространство нетривиального расслоения над окружностью со слоем отрезок.
• Ленту Мёбиуса возможно поместить в $\mathbb {R} ^{3}$ с границей, являющейся идеальной окружностью. Один из способов — применить стереографическую проекцию к бутылке Клейна, вложенной в трёхмерную сферу. Идея состоит в следующем: пусть $C$ будет единичным кругом в плоскости $xy$ в $\mathbb {R} ^{3}$. Соединив антиподные точки на $C$ (то есть точки под углами $\theta$ и $\theta +\pi$) дугой круга, получим, что для $\theta$ между $0$ и $\pi /2$ дуги лежат выше плоскости $xy$, а для других $\theta$ — ниже (причём в двух местах дуги лежат в плоскости $xy$).
  • Тем не менее любой диск, который приклеивается к граничной окружности, неизбежно пересечёт ленту Мёбиуса.
• Примером вложения листа Мебиуса в $\mathbb {C} ^{2}$ является поверхность, заданная уравнением

$z_{1}=\sin \eta \,e^{i\varphi }$

$z_{2}=\cos \eta \,e^{i\varphi /2},$

Здесь параметр $\eta$ изменяется от 0 до $\pi$. Границей этой поверхности является окружность $z_{1}=0,|z_{2}|=1$. При стереографической проекции получается вложение в $\mathbb {R} ^{3}$ с границей, в точности являющейся окружностью.

Открытые вопросы

1. Каково минимальное $k$ такое, что из прямоугольника с меньшей стороной 1 и большей стороной k можно свернуть несамопересекающуюся ленту Мёбиуса (бумагу мять не разрешается)? Доказанная оценка снизу — ${\frac {\pi }{2}}$, сверху — ${\sqrt {3}}$.
2. Существует ли формула, описывающая лист Мёбиуса, получающийся путём складывания плоского листа бумаги? Вышеуказанные формулы описывают поверхность, которую нельзя сложить из листа бумаги, так как она имеет отрицательную кривизну; спрашивается, можно ли аналогичным образом описать поверхность нулевой кривизны?
   • Сложнее найти форму, которая при этом минимизирует упругую энергию изгиба. Решение этой задачи, впервые поставленной Садовским (M. Sadowsky) в 1930 году, было опубликовано в 2007 году. Однако решение не описывается алгебраической формулой, и маловероятно, что такая формула вообще существует. Чтобы найти пространственную равновесную форму бумажной ленты Мёбиуса, необходимо решить краевую задачу для системы дифференциально-алгебраических уравнений.

Если ленту разрезать

Разрезание ленты Мёбиуса на три части

• Если разрезать ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (закрученная на полный оборот) лента. Это свойство ленты Мёбиуса используется в старинном фокусе под названием «афганские ленты» (англ. The Afghan Bands) с 1904 года, его также описывают Норберт Винер в книге I Am a Mathematician (1956) и Мартин Гарднер в книге Mathematics, Magic and Mystery (1956), последний также утверждает, что самая ранняя ссылка на использование ленты Мёбиуса для фокусов относится к 1882 году. Если получившуюся ленту разрезать вдоль посередине, получаются две такие ленты, намотанные друг на друга.
• Если разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна — более короткая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами.
• Другие комбинации лент могут быть получены из лент с двумя или более полуоборотами в них. Например, если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника. Разрез ленты с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.

Искусство и технология

Международный символ переработки представляет собой лист Мёбиуса

«Лента Мёбиуса» над входом в институт ЦЭМИ РАН (1976, архитектор Леонид Павлов, художники Э. А. Жаренова и В. К. Васильцов)

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — «Лист Мёбиуса II», показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Лист Мёбиуса является эмблемой серии научно-популярных книг «Библиотечка „Квант“». Он также постоянно встречается в научной фантастике, например, в рассказе Артура Кларка «Стена темноты». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщённым листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (например, «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра Густаво Москера. Также идея ленты Мёбиуса используется в рассказе М. Клифтона «На ленте Мёбиуса».

Лента Мёбиуса используется как способ перемещения в пространстве и времени Гарри Кифа, главного героя романа Брайана Ламли «Некроскоп».

Лента Мёбиуса играет важную роль в фантастическом романе Р. Желязны «Двери в песке».

В книге Е. Наумова «Полураспад» (1989 год) интеллигент-алкоголик путешествует по стране, становясь на ленту Мёбиуса.

С лентой Мёбиуса сравнивается течение романа современного русского писателя Алексея Шепелёва «Echo». Из аннотации к книге: «„Echo“ — литературная аналогия кольца Мёбиуса: две сюжетные линии — „мальчиков“ и „девочек“ — переплетаются, перетекают друг в друга, но не пересекаются».

Лента Мёбиуса также встречается в эссе Харуки Мураками «Облади Облада» из книги-сборника «Радио Мураками», выпущенного в 2010 году, где лента Мёбиуса образно сравнивается с бесконечностью.

В визуальной новелле CHARON «Makoto Mobius» главный герой Ватаро пытается спасти одноклассницу от смерти, используя магический артефакт — ленту Мёбиуса.

В 1987 году советский джазовый пианист Леонид Чижик записал альбом «Лента Мёбиуса», в который вошла и одноимённая композиция.

В 2019 году в фильме Мстители 4. Лента Мебиуса используется Тони Старком(самым умным человеком) в путешествии во времени.

Гоночный трек в одном из эпизодов (7 сезон 14 серия, 11 минута) мультсериала «Футурама» представляет собой ленту Мёбиуса.

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде ленты Мёбиуса, будет работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид ленты Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Также над входом в институт ЦЭМИ РАН находится мозаичный горельеф «Лента Мёбиуса» работы архитектора Леонида Павлова в соавторстве с художниками Э. А. Жареновой и В. К. Васильцовым (1976).

Лента Мёбиуса и знак бесконечности

Многие считают, что лист Мёбиуса является прародителем символа бесконечности. Однако по имеющимся историческим сведениям символ $\infty$ стал использоваться для обозначения бесконечности за два столетия до открытия ленты Мёбиуса (см. Символ бесконечности).

Вариации и обобщения

• Близкой односторонней поверхностью является бутылка Клейна. Бутылка Клейна может быть получена путём склеивания двух лент Мёбиуса по краям. В обычном трёхмерном евклидовом пространстве сделать это, не создавая самопересечения, невозможно.
• Другое похожее многообразие — проективная плоскость. Если проколоть отверстие в проективной плоскости, тогда то, что останется, будет листом Мёбиуса. С другой стороны, если приклеить диск к ленте Мёбиуса, совмещая их границы, то результатом будет проективная плоскость.

См. также

• Мёбиус, Август Фердинанд
• Бутылка Клейна
• Резистор Мёбиуса
• «Лист Мёбиуса» (рассказ)
• «Лист Мёбиуса» (фильм)

Литература

• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии.— М.: Наука, 1989.
• Гарднер М. Математические чудеса и тайны.— М.: Наука, 1978.