Участник:Черный Дракон/Песочница

Пусть $f(x)=\alpha e^{\beta x}$

Тогда $f^{(n)}(x)=\alpha \beta ^{n}e^{\beta x}$

И решением уравнения $f(x)=f^{(n)}(x)$ будут функции$\alpha e^{\beta x}$, для которых $\beta ^{n}=1$, т.е. $\beta =\cos {\frac {2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {2\pi k}{n}},\quad k=0,1,...,n-1$

Для n=1:

$\alpha e^{x}$

Для n=2:

$\alpha e^{x},\alpha e^{-x}$

$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$, т.е. гиперболический синус это сумма решений для n=2 $\left({\frac {1}{2}}e^{x},-{\frac {1}{2}}e^{-x}\right)$, а значит $\sinh ''x=\sinh x$

Для n=4:

$\alpha e^{x},\alpha e^{-x},\alpha e^{ix},\alpha e^{-ix}$

$\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$, т.е. синус это сумма решений для n=4 $\left({\frac {1}{2i}}e^{i}x,-{\frac {1}{2i}}e^{-ix}\right)$, следовательно $\sin ^{(4)}x=\sin x$

Остается только доказать, что функции вида $\alpha e^{\beta x},\beta ^{n}=1$ (и их суммы) являются единственными решениями уравнений $f^{(n)}(x)=f(x)$

Доказательства

n=1

$f'(x)=f(x)$

${\frac {f'(x)}{f(x)}}=1$

$(\ln(f(x)))'=1$

$\ln(f(x))=x+c$

$f(x)=e^{x+c}=e^{c}e^{x}=\alpha e^{x}$