Спектр оператора

Спектр оператора — множество чисел, характеризующее линейный оператор. Применяется в линейной алгебре, функциональном анализе и квантовой механике.

Конечномерный случай

Пусть A — оператор, действующий в конечномерном линейном пространстве E. Спектром оператора называется множество всех его собственных значений.

Квадратную матрицу n×n можно рассматривать как линейный оператор в n-мерном пространстве, что позволяет перенести на матрицы «операторные» термины. В таком случае говорят о спектре матрицы.

Общее определение

Пусть A — оператор, действующий в банаховом пространстве E над $\mathbb {C}$. Число λ называется регулярным для оператора A, если оператор $R(\lambda )=(A-\lambda I)^{-1}$, называемый резольвентой оператора A, определён на всём E и непрерывен. Множество регулярных значений оператора A называется резольвентным множеством этого оператора, а дополнение резольвентного множества — спектром этого оператора. Спектр оператора представляет собой непустой компакт в $\mathbb {C}$.

Внутри спектра оператора можно выделять части, не одинаковые по своим свойствам. Одной из основных классификаций спектра является следующая:

1. дискретным (точечным) спектром называется множество всех собственных значений оператора A — только точечный спектр присутствует в конечномерном случае;
2. непрерывным спектром называется множество значений $\lambda$, при которых резольвента $(A-\lambda I)^{-1}$ определена на всюду плотном множестве в E, но не является непрерывной;
3. остаточным спектром называется множество точек спектра, не входящих ни в дискретную, ни в непрерывную части.

Максимум модулей точек спектра оператора A называется спектральным радиусом этого оператора и обозначается через $r(A)$. При этом выполняется равенство $r(A)=\lim _{n\to \infty }\|A^{n}\|^{1/n}$.

В комплексном случае резольвента является голоморфной операторнозначной функцией на резольвентном множестве. В частности, при $\lambda >r(A)$ она может быть разложена в ряд Лорана с центром в точке $z=0$.

В квантовой механике

Спектр самосопряжённых операторов играет важную роль в квантовой механике, определяя множество возможных значений наблюдаемой при измерении. В частности, спектр гамильтониана определяет допустимые уровни энергии квантовой системы.

Непрерывный спектр

Непрерывный спектр — это спектр значений физической величины, в котором в отличие от дискретного спектра значение этой величины определено для каждого собственного состояния системы, причем бесконечно малое изменение состояния системы приводит к бесконечно малому изменению физической величины. В качестве физической величины могут выступать: координа, импульс, энергия, орбитальный момент движения и т. д. Так как произвольная волновая функция Ψ может быть разложена в ряд по собственным функциям величины с дискретным спектром, то она может быть также разложена и в интеграл по полной системе собственных функций величины с непрерывным спектром.

См. также

• Проектор (алгебра)
• Спектр алгебры