Формула Гаусса

Формула Гаусса (соотношение Гаусса, уравнение Гаусса) — выражение для гауссовой кривизны поверхности в трёхмерном римановом пространстве через главные кривизны и секционную кривизну объемлющего пространства:

Пусть $S$ есть двумерная поверхность в трёхмерном римановом пространстве $M$, тогда $K_{S}(x)=K_{M}(\sigma _{S}(x))+\kappa _{1}(x)\kappa _{2}(x),$ где $K_{S}$ есть гауссова кривизна поверхности $S$ в точке $x\in S$, $K_{M}(\sigma _{S}(x))$ — секционная кривизна пространства $M$ в направлении $\sigma _{S}(x)$ касательном к $S$ в точке $x$, а $\kappa _{1}(x)$, $\kappa _{2}(x)$ — главные кривизны поверхности $S$ в точке $x$.

Эта формула обобщает более известную формулу $K_{S}(x)=\kappa _{1}(x)\kappa _{2}(x)$ для плоского пространства $M$.

Вариации и обобщения

Формула допускает обобщения на произвольную размерность и коразмерность вложенного подмногообразия $S\subset M$. В этом случае тензор кривизны $S$ выражается через сужение тензора кривизны $M$ на подпространство касательное к $S$ и вторую квадратичную форму $S$ — квадратичную форму $q_{S}$ на подпространстве касательном к $S$ со значениями в нормальном пространстве к $S$.

$\langle R_{S}(X,Y)Y,X\rangle =\langle R_{M}(X,Y)Y,X\rangle +\langle q_{S}(X,X),q_{S}(Y,Y)\rangle -\langle q_{S}(X,Y),q_{S}(X,Y)\rangle$

См. также

• Формула Гаусса — Бонне
• Теорема Гаусса — Остроградского (также называемая формулой Гаусса)